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【题目】如图,直角三角形ABC中,∠ABC90°,以边AB为直径作圆O,交AC于点E,点DBC的中点,连接DE

1)判断DE与圆O的关系,说明理由;

2)若AB4DE,点G是圆上出EB外的任意一点,则∠EGB______°(直接写出答案).

【答案】1)相切,证明见解析;(2120°60°

【解析】

(1)连接OE,BE,由题意可知OD是三角形ABC的中位线,ED是直角三角形CEB斜边上的中线,从而易得∠EDO=∠BDOED=BD,又OD=OD,从而证得EDOBDO

∠DEO=∠DBO=90°,即可得到DE与圆O的位置关系;

(2)在直角三角形BDO中,由OB=AB2DB=DE,易求出∠ODB=30°,所以∠BOE=120°,在分情况讨论G在弧BE或是弧EAB上两种情况求∠EGB的度数.

(1)DE是圆O的切线.说明如下:

连接OE,BE

∵AB是圆O的直径,

∴∠AEB=90°

∵DBC的中点,

∴DE=CD=DB

∴∠CED=∠C

∵AO=OB,

∴OD为三角形ABC的中位线

∴ODAC

∴∠BDO=∠C∠CED=∠EDO

∴∠BDO=∠EDO

OD=OD

∴EDOBDO

∴∠DEO=∠DBO=90°

∴DE是圆O的切线.

(2) 在直角三角形BDO中,由OB=AB2DB=DE,

∴tan∠ODB==

∴∠ODB=30°

∴∠BOD=60°

由(1)得EDOBDO∴∠EOD=∠BOD=60°,即∠BOE=120°

G在弧EAB上时,∠EGB =∠BOE=60°

G在弧BE上时,∠EGB=180°-60°=120°

∠EGB60°120°

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