【题目】如图,直角三角形ABC中,∠ABC=90°,以边AB为直径作圆O,交AC于点E,点D是BC的中点,连接DE
(1)判断DE与圆O的关系,说明理由;
(2)若AB=4,DE=,点G是圆上出E、B外的任意一点,则∠EGB=______°(直接写出答案).
【答案】(1)相切,证明见解析;(2)120°或60°
【解析】
(1)连接OE,BE,由题意可知OD是三角形ABC的中位线,ED是直角三角形CEB斜边上的中线,从而易得∠EDO=∠BDO,ED=BD,又OD=OD,从而证得EDOBDO,
则∠DEO=∠DBO=90°,即可得到DE与圆O的位置关系;
(2)在直角三角形BDO中,由OB=AB=2,DB=DE=,易求出∠ODB=30°,所以∠BOE=120°,在分情况讨论G在弧BE或是弧EAB上两种情况求∠EGB的度数.
(1)DE是圆O的切线.说明如下:
连接OE,BE
∵AB是圆O的直径,
∴∠AEB=90°
∵D是BC的中点,
∴DE=CD=DB
∴∠CED=∠C
又∵AO=OB,
∴OD为三角形ABC的中位线
∴ODAC
∴∠BDO=∠C,∠CED=∠EDO
∴∠BDO=∠EDO
又OD=OD,
∴EDOBDO
∴∠DEO=∠DBO=90°
∴DE是圆O的切线.
(2) 在直角三角形BDO中,由OB=AB=2,DB=DE=,
∴tan∠ODB==,
∴∠ODB=30°.
∴∠BOD=60°.
由(1)得EDOBDO,∴∠EOD=∠BOD=60°,即∠BOE=120°.
当G在弧EAB上时,∠EGB =∠BOE=60°.
当G在弧BE上时,∠EGB=180°-60°=120°.
故∠EGB=60°或120°.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A的坐标为,点B的坐标为,且,.给出如下定义:若平面上存在一点P,使是以线段为斜边的直角三角形,则称点P为点A、点B的“直角点”.
(1)已知点A的坐标为.
①若点B的坐标为,在点、和中,是点A、点B的“直角点”的是_________;
②点B在x轴的正半轴上,且,当直线上存在点A、点B的“直角点”时,求b的取值范围;
(2)的半径为r,点为点、点的“直角点”,若使得与有交点,直接写出半径r的取值范围.
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【题目】已知菱形中,,点为边上一个动点(不与点重合),点在边上,且,将线段绕着点逆时针旋转120°得线段,连接.
(1)依题意补全图形;
(2)求证:为等边三角形
(3)用等式表示线段的数量关系,并证明.
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【题目】如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A′点,D点的对称点为D′点,若∠FPG=90°,△A′EP的面积为8,△D′PH的面积为2,则矩形ABCD的面积等于 ( )
A.B.C.D.16+12
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【题目】用A、B两种机器人搬运大米,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米,A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等.求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米.
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【题目】如图,已知点E,H在矩形ABCD的AD边上,点F,G在BC边上,将矩形ABCD沿EF,GH折叠,使点B和点C落在AD边上同一点P处.折叠后,点A的对应点为点A',点D的对应点为点D',若∠FPG=90°,A'E=3,D'H=1,则矩形ABCD的周长等于_____.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=2,E是边CD上一点,将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE,BF的延长线交边CD于点G,则DG的最大值为_____.
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【题目】如图,已知抛物线y=a(x+2)(x﹣4)(a为常数,且a>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+抛物线的另一交点为D,且点D的横坐标为﹣5.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)该二次函数图象上有一点P(x,y)使得S△BCD=S△ABP,求点P的坐标;
(3)设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,求2AF+DF的最小值.
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