Question

【题目】如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）该二次函数图象上有一点P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；

（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，求2AF+DF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）(，)或(，)；（3）

【解析】

（1）求出点D的坐标，利用待定系数法求出a的值即可．

（2）如图1中，设直线BD交y轴于J，则J（0，）．连接CD，BC．由S△PAB＝10，推出×6×|yP|＝10，推出yP＝，再利用待定系数法构建方程求出点P的坐标即可．

（3）如图2中，过点D作DM平行于x轴，首先证明∠BDM＝∠DBA＝30°，过F作FJ⊥DM于J，则有sin30°＝，推出HF＝，推出2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值．

解：（1）抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直线y＝，

当x＝﹣5时，y＝

∴D（﹣5，），

∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）上，

∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝，

∴a＝．

∴抛物线的函数表达式为：y＝．

（2）如图1中，设直线BD交y轴于J，则J（0，）．连接CD，BC．

∵S△BDC＝

∴S△PAB＝，

∴×6×|yP|＝

yP＝，

当y＝时， ，

解得x＝，

∴P或，

当

方程无解，

∴满足条件的点P的坐标为或．

（3）如图2中，过点D作DM平行于x轴，作FH⊥DM于H，

∵D，B（4，0），

∴tan∠DBA＝，

∴∠DBA＝30°

∴∠BDM＝∠DBA＝30°，过F作FJ⊥DM于J，

则有sin30°＝，

∴，

∴2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），当A、F、H三点共线时，

即AH⊥DM时，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值．