【题目】如图,已知抛物线y=a(x+2)(x﹣4)(a为常数,且a>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+抛物线的另一交点为D,且点D的横坐标为﹣5.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)该二次函数图象上有一点P(x,y)使得S△BCD=S△ABP,求点P的坐标;
(3)设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,求2AF+DF的最小值.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣;(2)(,)或(,);(3)
【解析】
(1)求出点D的坐标,利用待定系数法求出a的值即可.
(2)如图1中,设直线BD交y轴于J,则J(0,).连接CD,BC.由S△PAB=10,推出×6×|yP|=10,推出yP=,再利用待定系数法构建方程求出点P的坐标即可.
(3)如图2中,过点D作DM平行于x轴,首先证明∠BDM=∠DBA=30°,过F作FJ⊥DM于J,则有sin30°=,推出HF=,推出2AF+DF=2(AF+)=2(AF+HF),当A、F、H三点共线时,即AH⊥DM时,2AF+DF=2(AF+HF)取最小值.
解:(1)抛物线y=a(x+2)(x﹣4),令y=0,解得x=﹣2或x=4,
∴A(﹣2,0),B(4,0).
∵直线y=,
当x=﹣5时,y=
∴D(﹣5,),
∵点D(﹣5,3)在抛物线y=a(x+2)(x﹣4)上,
∴a(﹣5+2)(﹣5﹣4)=,
∴a=.
∴抛物线的函数表达式为:y=.
(2)如图1中,设直线BD交y轴于J,则J(0,).连接CD,BC.
∵S△BDC=
∴S△PAB=,
∴×6×|yP|=
yP=,
当y=时, ,
解得x=,
∴P或,
当
方程无解,
∴满足条件的点P的坐标为或.
(3)如图2中,过点D作DM平行于x轴,作FH⊥DM于H,
∵D,B(4,0),
∴tan∠DBA=,
∴∠DBA=30°
∴∠BDM=∠DBA=30°,过F作FJ⊥DM于J,
则有sin30°=,
∴,
∴2AF+DF=2(AF+)=2(AF+HF),当A、F、H三点共线时,
即AH⊥DM时,2AF+DF=2(AF+HF)取最小值.
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【题目】如图,直角三角形ABC中,∠ABC=90°,以边AB为直径作圆O,交AC于点E,点D是BC的中点,连接DE
(1)判断DE与圆O的关系,说明理由;
(2)若AB=4,DE=,点G是圆上出E、B外的任意一点,则∠EGB=______°(直接写出答案).
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【题目】在平面直角坐标系中,反比例函数的图象经过点,直线与x轴交于点.
(1)求的值;
(2)已知点,过点P作平行于x轴的直线,交直线于点C,过点P作平行于y轴的直线交反比例函数的图象于点D,当时,结合函数的图象,求出n的值.
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【题目】小志自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有盒装草莓、荔枝、山竹,价格依次为40元/盒、60元/盒、80元/盒.为增加销量,小志对这三种水果进行促销:一次性购买水果的总价超过100元时,超过的部分打5折,每笔订单限购3盒.顾客支付成功后,小志会得到支付款的80%作为货款.
(1)顾客一笔订单购买了上述三种水果各一盒,则小志收到的货款是________元;
(2)小志在两笔订单中共售出原价180元的水果,则他收到的货款最少是________元.
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【题目】如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,连接AP,交CD于点M,若∠ACD=110°,则∠CMA的度数为( )
A.30°B.35°C.70°D.45°
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O,分别与AC,BC交于点E,F. 过点F作⊙O的切线交AB于点M.
(1)求证:MF⊥AB;
(2)若⊙O的直径是6,填空:
①连接OF,OM,当FM= 时,四边形OMBF是平行四边形;
②连接DE,DF,当AC= 时,四边形CEDF是正方形.
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【题目】欧几里得在《几何原本》中,记载了用图解法解方程的方法,类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根.如图,一张边长为1的正方形的纸片,先折出、的中点、,再折出线段,然后通过沿线段折叠使落在线段上,得到点的新位置,并连接、,此时,在下列四个选项中,有一条线段的长度恰好是方程的一个正根,则这条线段是( )
A.线段B.线段C.线段D.线段
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【题目】2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求,倾情打造了条各具特色的趣玩路线,分别是:.“解密世园会”、.“爱我家, 爱园艺”、.“园艺小清新之旅”、.“快速车览之旅”.李明和张春各自在这条线路中任意选择一条线路游览,每条线路被选择的可能性相同.
(1)李明选择线路.“ 爱我家,爱园艺”的概率为 ;
(2)用画树状图或列表的方法,求李明和张春恰好选择同一线路游览的概率.
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【题目】探究:如图1和2,四边形中,已知,,点,分别在、上,.
(1)①如图 1,若、都是直角,把绕点逆时针旋转至,使与重合,则能证得,请写出推理过程;
②如图 2,若、都不是直角,则当与满足数量关系_______时,仍有;
(2)拓展:如图3,在中,,,点、均在边上,且.若,求的长.
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