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【题目】如图,直线y=kx+8k0)交y轴于点A,交x轴于点B.将△AOB关于直线AB翻折得到△APB.过点AACx轴交线段BP于点C,在AC上取点D,且点D在点C的右侧,连结BD

1)求证:AC=BC

2)若AC=10

①求直线AB的表达式.

②若△BCD是以BC为腰的等腰三角形,求AD的长.

3)若BD平分∠OBP的外角,记△APC面积为S1△BCD面积为S2,且=,则的值为______(直接写出答案)

【答案】1)证明见解析;(2)①y=-x+8;②2022;(3.

【解析】

1)由平行线的性质可得出∠BAC=ABO,由折叠的性质可知∠ABO=ABC,进而可得出∠BAC=ABC,由等角对等边即可证出AC=BC

2)过点BBECD于点E.①利用一次函数图象上点的坐标特征可求出OA的长度,进而可得出BE的长度,在RtBCE中,利用勾股定理可求出CE的长度,进而可得出OBAE的长度,由OB的长度可得出点B的坐标,再利用待定系数法即可求出直线AB的表达式;

②分BC=DCBC=BD两种情况考虑:当BC=DC时,由AC=BC=10,可求出AD的长度;当BC=BD时,利用等腰三角形的性质结合①的结论可求出CD的长度,进而可得出AD的长度.综上,此问得解;

3)由折叠的性质结合三角形的面积公式可得出,设PC=2a,则CD=3a,易证APC≌△BECAAS),由全等三角形的性质可得出CE=CP=2a,由角平分线的定义、平行线的性质结合等腰三角形的性质可得出CB=CD=AC=3a,在RtBCE中,CE=2a,进而可得出OB=5aAD=6a,二者相比后即可得出的值.

1)证明:∵ACx轴,

∴∠BAC=ABO

由折叠的性质,可知:∠ABO=ABC

∴∠BAC=ABC

AC=BC

2)解:过点BBECD于点E,如图1所示.

①当x=0时,y=kx+8=8

∴点A的坐标为(08),BE=OA=8

RtBCE中,BC=AC=10BE=8

CE==6

OB=AE=AC+CE=16

∴点B的坐标为(160).

将点B160)代入y=kx+8,得:0=16k+8

解得:k=-

∴直线AB的表达式为y=-x+8

②当BC=DC时,AD=AC+CD=10+10=20

BC=BD时,由①可知:CD=2CE=12

AD=AC+CD=10+12=22

综上:AD的长为2022

3)由折叠的性质,可知:AO=AP,∠APC=AOB=90°

SAPC=APPC=AOPCSBCD=CDAOOA=BE

=

PC=2a,则CD=3a

APCBEC中,

∴△APC≌△BECAAS),

PC=EC

BD平分∠OBP的外角,CDx轴,

∴∠CBD=CDB

CD=CB=3a

RtBCE中,CB=3aCE=2a

BE==a

OB=AC+CE=CD+CE=5aAD=AC+CD=2CD=6a

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