Question

【题目】如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB＝∠ADB.

(1)求证：EA是⊙O的切线；

(2)若点B是EF的中点，AB＝，CB＝，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4.

【解析】分析: （1）连接CD，由AC是⊙O的直径，可得出∠ADC=90°，由角的关系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切线;

（2）连接BC，由AC是⊙O的直径，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中点，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA，利用相似从而求AE的长.

详解:

（1）∵弧AB=弧AB，∴∠D＝∠C.

∵∠EAB＝∠D，∴∠EAB＝∠C.

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，

∴∠EAB＋∠CAB＝90°，

∴∠DAE＝90°，

∴AE与⊙O相切；

（2）

∵∠ABC＝90°,AB=,CB＝,

∴AC==6，

由(1)知∠OAE＝90°，

在Rt△EAF中，∵B是F的中点，

∴EF=2AB=

∴∠BAF＝∠BFA.

∵∠ABC＝∠EAF，∴Rt△AFE∽Rt△BAC，

∴,,

AE＝4.

点睛: 本题主要考查了切线的判定和相似三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线运用三角形相似及切线性质求解.