Question

【题目】如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；

（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；

（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．

Answer 1

【答案】（1）D（﹣4，3），P（﹣12，8）；（2）；（3）6．

【解析】试题分析：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，由矩形的性质得出和勾股定理求出BD，BO=15，由平行线得出△ABD∽△NBO，得出比例式，求出BN、NO，得出OM、DN、PN，即可得出点D、P的坐标；

（2）当点P在边AB上时，BP=6﹣t，由三角形的面积公式得出S=BPAD；②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，同理得出S=BPAB；即可得出结果；

（3）设点D（， ）；分两种情况：①当点P在边AB上时，P（， ），由和时；分别求出t的值；

②当点P在边BC上时，P（， ）；由和时，分别求出t的值即可．

试题解析：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，∴BD==10，当t=5时，OD=5，∴BO=15，∵AD∥NO，∴△ABD∽△NBO，∴，即，∴BN=9，NO=12，∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）；

（2）如图2所示：当点P在边AB上时，BP=6﹣t，∴S=BPAD=（6﹣t）×8=﹣4t+24；

②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，∴S=BPAB=（t﹣6）×6=3t﹣18；

综上所述： ；

（3）设点 D（， ）；

①当点P在边AB上时，P（， ），若时， ，解得：t=6；

若时， ，解得：t=20（不合题意，舍去）；

②当点P在边BC上时，P（， ），若时， ，解得：t=6；

若时， ，解得： （不合题意，舍去）；

综上所述：当t=6时，△PEO与△BCD相似．