Question

【题目】阅读下列一段文字，然后回答下列问题：

已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间的距离。例如：已知P(3，1)，Q(1，-2)，则这两点间的距离.特别地，如果两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或者垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或。

(1)已知A(2，3)，B(-1，-2)，则A，B两点间的距离为_________；

(2)已知M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为-2，点N的纵坐标为3，则M，N两点间的距离为_________；

(3)在平面直角坐标系中，已知A(0，4)，B(4，2)，在x轴上找点P，使PA+PB的长度最短，求出点P的坐标及PA+PB的最短长度.

Answer 1

【答案】(1)；(2)5；(3) PA+PB的长度最短时，点P的坐标为(，0)，PA+PB的最短长度为.

【解析】

（1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出PA+PB的最小值．

(1) （1）∵A（2，3），B（-1，-2），
∴A，B两点间的距离为： ；

(2) ∵M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为-2，点N的纵坐标为3，
则M，N两点间的距离为3-（-2）=5；

(3)如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴交于点P，此时PA+PB最短

设A′B的解析式为y=kx+b

将A′(0，-4)，B(4，2)代入y=kx+b得

解得

∴直线设A′B的解析式为

令y=0得

∴P(0，).

∵PA′=PA

∴PA+PB=PA′+PB=A′B=

∴PA+PB的长度最短时，点P的坐标为(，0)，PA+PB的最短长度为.