Question

【题目】综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-3与坐标轴交于A，B两点.

(1)求A，B两点的坐标；

(2)以AB为边在第四象限内作等边三角形ABC，求△ABC的面积；

(3)在平面内是否存在点M，使得以M，O，A，B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出M点的坐标：若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) A(0，-3)，B(4，0)；(2) ；(3)存在，(-4，-3)或(4，3)或(4，-3).

【解析】

（1）当x=0时，y=-3，当y=0时，x=4，可求A，B两点的坐标；
（2）由勾股定理可求AB的长，即可求△ABC的面积；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求点M坐标．

(1)在中，令x=0，得y=-3

令y=0，得x=4

∴A(0，-3)，B(4，0)

(2)由(1)知：OA=3，0B=4

在RtΔAOB中，由勾股定理得：AB=5.

如图：过C作CD⊥AB于点D,

则AD=BD=

又AC=AB=5.

在Rt△ADC中，

∴

(3) 若AB为边时，
∵以M，O，A，B为顶点的四边形是平行四边形
∴MO∥AB，MO=AB=5，
当点M在OB下方时，AM=BO=4，AM∥OB
∴点M（-4，-3）
当点M在OB上方时，OA=BM=3，OA∥BM
∴点M（4，3）
若AB为对角线时，
∵以M，O，A，B为顶点的四边形是平行四边形
∴AM∥OB，BM∥OA，
∴点M（4，-3）
综上所述：点M坐标为（-4，-3），（4，3），（4，-3）.