Question

【题目】已知：如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的各边上，且AE=AH=CF=CG．

（1）求证：四边形EFGH是矩形；

（2）若AB=6，∠A=60°．

①设BE=x，四边形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式；

②x为何值时，四边形EFGH的面积S最大？并求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①②当时，四边形的面积最大为

【解析】分析：(1)、首先利用菱形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，AB=BC=CD=DA，然后根据AE=AH=CF=CG，得到BE=BF=DH=DG，从而证得△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，证得四边形EFGH是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形EFGH是矩形；(2)、①过点B作BN⊥EF于点N，根据题意得出NE和EF的长度，然后根据∠A=60°，AE=AH得出△AEH为等边三角形，从而得出函数关系式；②根据二次函数的性质求出面积的最大值．

详解：(1)、∵四边形ABCD是菱形， ∴.

∵， ∴. ∴. 同理：.

所以四边形是平行四边形. 又∵， ∴ .

∴. ∵， ∴.

∵，

∴. ∴. ∴.

∴四边形是矩形.

(2)、①过点B作BN⊥EF于点N，根据题意可得：NE=. ∴，∵，

∴是等边三角形. ∴， ∴.

②. 当时，.

所以当时，四边形的面积最大为.