Question

【题目】已知：如图1，矩形OABC的两个顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标是（8，2），点P是边BC上的一个动点，连接AP，以AP为一边朝点B方向作正方形PADE，连接OP并延长与DE交于点M，设．

（1）请用含a的代数式表示点P，E的坐标．

（2）如图2，连接OE，并把OE绕点E逆时针方向旋转90°得EF．若点F恰好落在x轴的正半轴上，求a与的值．

（3）如图1，若点M为DE的中点，并且，点在OP的延长线上，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）， ；（3）．

【解析】

①根据一线三垂模型构造两个全等直角三角形，根据对应边相等，即可用a的代数式表示出E点坐标．

②根据旋转性质得出是等腰直角三角形，求出a的值和P,D,E三点坐标，再求出PO,DE两条直线交点，从而求出M点坐标，即可求出EM,DM的长度，求出比值．

③构造相似，用a的代数式表示出M点坐标，再根据三角函数值相等列出等式方程和a的范围，求出a值，再通过旋转构造出等腰直角三角形，从而转化到求两条线段和的最小值，根据三点共线最短，进而求出两直线交点，利用两点间的距离公式即可求出具体值．

解：（1）如图1中，作于N．

∵，∴，，∵，∴

∵四边形OABC是矩形，四边形ADEP是正方形，

∴，，

∴，，

∴，∴，

∴，，∴．

（2）如图2中，由题意：是等腰直角三角形，∴

∵，∴

∴，，，

∴直线OP的解析式为，直线DE的解析式为

由，解得

∴，∴，

∴

（3）如图3中，作于K．

由，可得，

∴，，∴

∵，∴，∴

∴，整理得：，解得或6

∵，∴，，，，

如图4中，将绕点P顺时针旋转90°得到，则是等腰直角三角形．

∴的中点

∵，∴

作，则，∴

∴当E、Q、R共线时，的值最小

∵直线PR的解析式为，∵，∴直线ER的解析式为

由，解得，∴

∴，∴的最小值为