Question

【题目】数学课上，王老师画好图后并出示如下内容：“己知：为的直径，过的中点，为的切线．”

（1）王老师要求同学们根据己知条件，在不添加线段与标注字母的前提下，写出三个正确的结论，并选择其中一个加以证明．

（2）王老师说：如果添加条件“，”，则能求出的直径．请你写出求解过程，

Answer 1

【答案】（1）正确的结论可以是：①AB=CB，②∠A=∠C，③DE⊥BC；证明见解析；（2）．

【解析】

（1）三个正确的结论：AB=CB，∠A=∠C，DE⊥BC；连接BD、OD，由圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，由线段垂直平分线的性质得AB=CB，由等腰三角形的性质得∠A=∠C；证OD为△ABC的中位线，则OD∥BC，由切线的性质得出DE⊥OD，得出DE⊥BC；

(2) 由三角函数定义求出CE=2DE=2，由勾股定理得出CD=，则AD=CD=，由三角函数定义得，则BD=AD=，由勾股定理求出AB即可．

解：（1）三个正确的结论：AB=CB，∠A=∠C，DE⊥BC；选择结论“”进行证明．

连接BD、OD，如图：

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵D为AC的中点，
∴AB=CB，
∴∠A=∠C；
∵D为AC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD//BC，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC；

（2）由（1）知，在中，∵，，∴，

由勾股定理得：，∴，

∵，∴，∴，

∴．

∴的直径为．