【题目】如图,抛物线交x轴于A、B两点,直线y=kx+b经过点A,与这条抛物线的对称轴交于点M(1,2),且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设题中的抛物线与直线的另一交点为C,已知P(x,y)为线段AC上一点,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q.求线段PQ的最大值及此时P坐标;
(3)在(2)的条件下,求△AQC面积的最大值.
【答案】(1);(2)PQ有最大值=,此时P(2,3);(3)
【解析】
(1)由于点M和抛物线顶点关于x轴对称,即可得到点N的坐标,进而表示出该抛物线的顶点坐标式函数解析式;
(2)将点A与点M的坐标代入y=kx+b求出k与b的值,确定直线AC的解析式,得到点P坐标为(x,x+1),根据直线AC和抛物线的解析式,即可得到P、Q的纵坐标,从而得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出PQ的最大值及对应的P点坐标;
(3)由于△AQC面积=△AQP面积+△CPQ面积,根据三角形面积公式将PQ的最大值代入计算即可求解.
(1)由题意知,抛物线顶点N的坐标为(1,-2),
(2)由(1)得:x=-1或3,即A(-1,0)、B(3,0);
∵将A(-1,0)、M(1,2)代入y=kx+b中得:
解得:
∴直线AC的函数关系式为y=x+1,
解方程组
得x=-1或5,即A(-1,0)、C(5,6);
∴点P在线段AC之间
设P坐标为(x,x+1),则Q的坐标为
∴PQ=(x+1) - ()=
时
有最大值
此时
(3)
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【题目】如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,3)、B(﹣6,0)、C(﹣1,0).
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的三角形△A′B′C′;
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°,画出图形,直接写出点B的对应点B″的坐标;
(3)请直接写出:以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
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【题目】已知:在梯形ABCD中,AD//BC,AC=BC=10,,点E在对角线AC上,且CE=AD,BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G.设AD=x,△AEF的面积为y.
(1)求证:∠DCA=∠EBC;
(2)如图,当点G在线段CD上时,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)如果△DFG是直角三角形,求△AEF的面积.
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【题目】定义:如图1,D,E在△ABC的边BC上,若△ADE是等边三角形则称△ABC可内嵌,△ADE叫做△ABC的内嵌三角形.
(1)直角三角形______可内嵌.(填写“一定”、“一定不”或“不一定”)
(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=120°,△ADE是△ABC的内嵌三角形,试说明AB2=BDBC是否成立?如果成立,请给出证明;如果不一定成立,请举例说明.
(3)在(2)的条件下,如果AB=1,AC=2,求△ABC的内嵌△ADE的边长
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【题目】如图,二次函数的图象与x轴交于A(﹣3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B、D.
(1)请直接写出D点的坐标.
(2)求二次函数的解析式.
(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.
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【题目】今年某市为创评“全国文明城市”称号,周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签的方式确定2名女生去参加.
抽签规则:将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面,把四张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,梁老师先从中随机抽取一张卡片,记下姓名,再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张,记下姓名.
(1)该班男生“小刚被抽中”是 事件,“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”);第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ;
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果,并求出“小惠被抽中”的概率.
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【题目】合肥市某学校搬迁,教师和学生的寝室数量在增加,若该校今年准备建造三类不同的寝室,分别为单人间(供一个人住宿),双人间(供两个人住宿),四人间(供四个人住宿).因实际需要,单人间的数量在20至30之间(包括20和30),且四人间的数量是双人间的5倍.
(1)若2015年学校寝室数为64个,2017年建成后寝室数为121个,求2015至2017年的平均增长率;
(2)若建成后的寝室可供600人住宿,求单人间的数量;
(3)若该校今年建造三类不同的寝室的总数为180个,则该校的寝室建成后最多可供多少师生住宿?
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【题目】已知一个三角形纸片ABC,面积为25,BC的长为10,∠B、∠C都为锐角,M为AB边上的一动点(M与A、B不重合),过点M作MN∥BC交AC于点N,设MN=x.
(1)用x表示△AMN的面积;
(2)△AMN沿MN折叠,使△AMN紧贴四边形BCNM(边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内),设点A落在平面BCNM内的点A′,△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y.
①用含x的代数式表示y,并写出x的取值范围.
②当x为何值时,重叠部分的面积y最大,最大为多少?
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【题目】 如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点A(,0),B(0,2),则点B2016的坐标为____________________.
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