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【题目】定义:如图1DEABC的边BC上,若ADE是等边三角形则称ABC可内嵌,ADE叫做ABC的内嵌三角形.

1)直角三角形______可内嵌.(填写一定一定不不一定

2)如图2,在ABC中,∠BAC=120°ADEABC的内嵌三角形,试说明AB2=BDBC是否成立?如果成立,请给出证明;如果不一定成立,请举例说明.

3)在(2)的条件下,如果AB=1AC=2,求ABC的内嵌ADE的边长

【答案】(1)不一定;(2)成立,理由见解析;(3)

【解析】

1)当直角三角形是等腰直角三角形时可内嵌,所以直角三角形不一定都可内嵌;(2)根据相似三角形的判断方法,得出△BDA∽△BAC,根据相似三角形对应边成比例即可得出;(3)根据△BDA∽△BAC,△AEC∽△BAC,导出DECEx的关系,依据AB2=BDBC列出关于x的方程,从而求出△ABC的内嵌△ADE的边长.

当直角三角形是等腰直角三角形时可内嵌,

∴直角三角形不一定可内嵌.

2)∵△ADE是△ABC的内嵌三角形,

∴△ADE是正三角形,

∴∠ADE=60°

在△ADB和△BAC中,

∵∠ADB=BAC=120°,∠B=B

∴△BDA∽△BAC

,

AB2=BDBC

3)设BD=x

∵△BDA∽△BAC

,

AD=2x

AE=DE=x

同理可证:△AEC∽△BAC

,

CE=4x

BC=7x

由(2)可知AB2=BDBC

12=x7x

解得x=

DE=

∴△ABC的内嵌△ADE的边长是

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