Question

【题目】已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AC＝BC＝10，，点E在对角线AC上，且CE＝AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G．设AD=x，△AEF的面积为y．

（1）求证：∠DCA＝∠EBC；

（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），；（3）15或.

【解析】

（1）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由AD=CE，AC=BC，利用SAS可得△DCA≌△ECB，由全等三角形的性质可得结论；
（2）由AD与BC平行，得到三角形AEF与三角形CEB相似，由相似得比例表示出AF，过E作EH垂直于AF，根据锐角三角函数定义表示出EH，进而表示出y与x的函数解析式，并求出x的范围即可；
（3）分两种情况考虑：①当∠FDG=90°时，如图2所示，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，即为x的值，代入求出y的值，即为三角形AEF面积；②当∠DGF=90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，由相似列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而求出y的值，即为三角形AEF面积．

解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ECB，
在△DCA和△ECB中，

，

∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴∠DCA=∠EBC；
（2）∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，

∴ ，即 ，

解得： ，

作EH⊥AF于H，如图1所示，

，

∴ ,

，

，

∵点G在线段CD上，
∴AF≥AD，即 ，

∴，

∴ ，

∴y关于x的函数解析式为：，定义域为．

（3）（3）分两种情况考虑：
①当∠FDG=90°时，如图2所示：

在Rt△ADC中，，即 ，

∴ ；

②当∠DGF=90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，

由（1）得：CE=AD=x，
在Rt△EMC中，，，

∴，

∵∠GCE=∠GBC，∠EGC=∠CGB，
∴△CGE∽△BGC，

∴ ，即 ，

∵∠EBM=∠CBG，∠BME=∠BGC=90°，
∴△BME∽△BGC，

∴ ，即 ，

此时 ，

∴综上，此时△AEF的面积为 或15．