Question

12．已知：如图所示，在?ABCD中，过A，C作BD的垂线垂足为A′，C′，过B，D作AC的垂线，垂足为B′，D′（AC，BD不垂直）．
（1）试说明：四边形A′B′C′D′∽?ABCD；
（2）四边形A′B′C′D′与?ABCD是不是位似图形．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠AA’D=∠AD’D=90°，得到A、D’、A’、D四点共圆，证明OAD∽△OA’D’，根据相似三角形的性质证明$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{CD}{C′D′}$，∠ADC=∠A’D’C’，证明结论；
（2）根据位似图形的对应边互相平行进行判断即可．

解答 证明：（1）∵∠AA’D=∠AD’D=90°，
∴A、D’、A’、D四点共圆，
∴∠DAA’=∠DD’A’，
∵∠ODA=90°-∠DAA’，∠OD’A’=90°-∠DD’A（直角三角形的锐角互补）
所以：∠ODA=∠OD’A’，
∴OAD∽△OA’D’，
∴$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{OD}{OD′}$，∠OAD=∠OA’D′，
同理可证：$\frac{CD}{A′B′}$=$\frac{OD}{OB′}$，∠ODC=∠OB’A’，
∵C’D’=A’B’，OB’=OD’，
∴$\frac{CD}{C′D′}$=$\frac{OD}{OD′}$，
∴$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{CD}{C′D′}$，
同理可证：∠OD’C′=∠OBA，
∵AB∥CD，
∴∠OBA=∠ODC，
∴∠OD’C=∠ODC，
∴∠ADC=∠ODA+∠ODC=∠OD’A+∠OD’C=∠A’D’C’，
∴平行四边形ABCD∽平行四边形A’B’C’D’相似；
（2）∵AD与A′D′不平行，
∴四边形A′B′C′D′与?ABCD不是位似图形．

点评 本题考查的是位似变换和相似三角形的性质，掌握位似变换的概念和相似三角形对应边成比例，对应角相等是解题的关键．