Question

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB交AB于点E,且CD=AC,DF∥BC,分别与AB,AC交于点G,F.

（1）求证:GE=GF；

（2）填空：若BD=1,则DF的长是 .

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）1.5

【解析】

（1）根据已知条件易证明Rt△AEC≌Rt△DFC，得CE=CF，则DE=AF，从而进一步证明Rt△AFG≌Rt△DEG，就可得到GE=GF；
（2）根据直角三角形的性质可以得到CE=AC，则CE=CD，即AB是CE的垂直平分线，则BC=BD=1．再根据直角三角形的性质进一步求得AB、BE的长，则AE=AB-BE，结合（1）中的全等三角形，知DF=AE．

解：（1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，

∴∠CFD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠AEC=90°，

在△AEC和△DFC中，

∴△AEC≌△DFC（AAS），

∴CE=CF，

∴AF=DE，

在△AFG和△DEG中，

，

∴△AFG≌△DEG（AAS），

∴GE=GF；

（2）∵CD⊥AB，∠A=30°，

∴CE=AC=CD，
∴CE=ED．
∴BC=BD=1．
又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，
∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，
∴BE=BC=BD=，

在直角三角形ABC中，∠A=30°，
则AB=2BC=2．
则AE=AB-BE=，

∵△AEC≌△DFC，
∴DF=AE==1.5，

故答案为：1.5