Question

20．如图，在△ABC中，D在BC上，且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB
（1）猜想EF与BD的数量关系，并给予证明；
（2）若∠EFD=60°，试判断△ADC的形状．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和已知得到AF=FD，根据三角形中位线定理得到EF与BD的数量关系；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行解答即可．

解答 解：（1）∵CD=CA，CF平分∠ACB，
∴AF=FD，又AE=EB，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD；
（2）∵EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠ADC=∠EFD=60°，又CD=CA，
∴△ADC是等边三角形．

点评 本题考查的是三角形中位线定理的应用和等边三角形的判断，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．