Question

已知关于x的一元二次方程mx²-（2m+1）x+2=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；
（3）若此方程的两个实数根分别为x₁、x₂，求代数式m（x₁³+x₂³）-（2m+1）（x₁²+x₂²）+2（x₁+x₂）+5的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）根据题意m≠0，则计算判别式有△=（2m-1）²≥0，然后根据判别式的意义即可得到结
（2）利用求根公式得到x₁=2，x₂=

1

m

，而方程的两个实数根都是整数，且m为整数，然后根据整数的整除性即可得到m的值；
（3）根据一元二次方程的解的定义得到mx₁²-（2m+1）x₁+2=0，mx₂²-（2m+1）x₂+2=0，变形为mx₁³-（2m+1）x₁²+2x₁=0，mx₂³-（2m+1）x₂²+2x₂=0．
然后把所求的代数式变形后利用整体代入的方法进行计算．

解答：（1）证明：m≠0，
∵△=（2m+1）²-4m×2
=（2m-1）²≥0，
∴此方程总有两个实数根；

（2）解：方程的两个实数根为x=

2m+1± (2m-1)2

2m

，
∴x₁=2，x₂=

1

m

，
∵方程的两个实数根都是整数，且m为整数，
∴m=±1；

（3）解：∵方程的两个实数根分别为x₁、x₂，
∴mx₁²-（2m+1）x₁+2=0，mx₂²-（2m+1）x₂+2=0．
∴mx₁³-（2m+1）x₁²+2x₁=0，mx₂³-（2m+1）x₂²+2x₂=0．
∴原式=mx₁³-（2m+1）x₁²+2x₁+mx₂³-（2m+1）x₂²+2x₂+5
=0+0+5
=5．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．