Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-8，0）、B（2，0），与y轴正半轴交于点C，且∠ACB=90°；
（1）求点C的坐标；
（2）求a，b，c的值；
（3）在抛物线对称轴上找一点P，使得PB+PC最小，求P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再根据同角的余角相等求出∠OAC=∠OCB，然后利用两角对应相等，两三角形相似求出△AOC和△COB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出OC的长，即可得解；
（2）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（3）根据抛物线解析式求出对称轴，然后根据轴对称确定最短路径问题，AC与抛物线的对称轴的交点即为所求的点P，利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式，然后求解即可．

解答：解：（1）∵A（-8，0）、B（2，0），
∴OA=8，OB=2，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

OC

OB

=

OA

OC

，
即

OC

2

=

8

OC

，
解得OC=4，
∵点C在y轴正半轴，
∴点C的坐标为（0，4）；

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-8，0）、B（2，0）、（0，4），
∴

64a-8b+c=0 4a+2b+c=0 c=4

，
解得

a=- 1 4 b=- 3 2 c=4

；

（3）由（2）得，抛物线解析式为y=-

1

4

x²-

3

2

x+4，
对称轴为直线x=-

b

2a

=-

- 3 2

2×(- 1 4 )

=-3，
根据轴对称确定最短路线问题，AC与对称轴的交点即为使得PB+PC最小的点P，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-8k+b=0 b=4

，
解得

k= 1 2 b=4

，
∴直线AC的解析式为y=

1

2

x+4，
x=-3时，y=-

1

2

×3+4=

5

2

，
∴点P的坐标为（-3，

5

2

）时，PB+PC最小．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及轴对称确定最短路径问题，（3）确定出点P的位置是解题的关键．