Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A（3，0），B两点（点A在点B的右侧），过C作直线l，与抛物线相交于点D（5，8），与对称轴交于点N，点P（m，n）为直线l上的一个动点，过P作x轴的垂线交抛物线于点G，设线段PG的长度为d
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）当0＜m＜5时，请用含m的代数式表示d，求出d的最大值；
（3）是否存在这样的点P，使以M，N，P，G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法，将点C、A的坐标代入解析式求得b，c的值，即可得解析式；
（2）根据点C和点D的坐标，求出直线CD的解析式，求出当x=m时，抛物线上的点G的纵坐标，用点P的纵坐标减去点G的纵坐标，求得距离d的函数关系式，然后求其最大值；
（3）根据PG垂直x轴，可得PG∥MN，得出只要PG=MN，四边形MNPG即为平行四边形，分别求出当P在G的上面和下面时符合PG=MN的P的坐标即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点C（0，3），A（3，0），
∴

c=3 9+3b+c=0

，
解得：

b=-4 c=3

，
则抛物线的解析式为：y=x²-4x+3；

（2）设直线l的解析式为y=kx+b，
∵直线l经过点C（0，3），D（5，8），
∴

b=3 5k+b=8

，
解得：

k=1 b=3

，
则直线的解析式为：y=x+3，
∵点P（m，n）为直线l上的一个动点，
∴G点横坐标为m，
则G点纵坐标为：m²-4m+3，
∴d=（m+3）-（m²-4m+3）=-m²+5m，
当0＜m＜5时，d=-（m-

5

2

）²+

25

4

，
∴当m=

5

2

时，d有最大值

25

4

；

（3）由题可得，对称轴为x=2，
则顶点M坐标为M（2，-1），
当x=2时，N点纵坐标为：2+3=5，
则N点坐标为：N（2，5），
∴MN=6，
∵PG垂直x轴，
∴PG∥MN，
要使四边形MNPG为平行四边形，
则有PG=MN=6，
当P在G上面时，PG=-m²+5m=6，
解得：m=3或m=2，
当m=2时，
PG与MN重合，不是平行四边形，故m=2舍去，
当m=3时，n=3+3=6；
当P在G下面时，PG=-（-m²+5m）=6，
解得：m=-1或m=6，
当m=-1时，n=-1+3=2，
当m=6时，n=3+6=9，
综上所述，P的坐标为（3，6），（-1，2），（6，9）．

点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．此题属于中考中的压轴题，综合性较强，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题和解答．