如图.矩形ABCD中.点E.F分别从A.D两点同时出发.以相同的速度作直线运动．点E在线段AB上运动.点F沿射线CD运动.连结EF.AF.AC.EF分别交AD和AC于点O.H．(1)求证:EO=OF,(2)当点E运动到什么位置时.EF=AC.在备用图1中画出图形并说明理由,(3)当点E运动到什么位置时.∠FAD=∠CAD.在备用图2中画出图形并说明理由.此时设四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，矩形ABCD中，点E、F分别从A、D两点同时出发，以相同的速度作直线运动．点E在线段AB上运动，点F沿射线CD运动，连结EF、AF、AC，EF分别交AD和AC于点O、H．
（1）求证：EO=OF；
（2）当点E运动到什么位置时，EF=AC，在备用图1中画出图形并说明理由；
（3）当点E运动到什么位置时，∠FAD=∠CAD，在备用图2中画出图形并说明理由，此时设四边形CDOH的面积为S₁，四边形ABCF的面积为S₂，请直接写出S₁：S₂的值．

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由矩形的性质就可以得出∠EAD=∠FDA=90°，根据AE=DF就可以得出△AOE≌△DOF就可以得出结论；
（2）作EG⊥CD于G，由矩形的性质就可以得出△EGF≌△ADC就可以得出结论；
（3）如图3，由∠FAD=∠CAD就可以得出△ADF≌△ADC就可以得出DF=DC，得出AF=CD=AB而得出结论．

解答：解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠DAB=∠ADC=∠B=∠BCD=90°．
在△AOE和△DOF中，

∠DAB=∠ADC

∠AOE=∠DOF

AE=DF

，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴EO=OF；

（2）点E在AB的中点．
理由：如图2，作EG⊥CD于G，
∴∠EGF=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴EG=AD．AE=DG．
∴FD=DG，
∴DG=

FG，
在Rt△ADC和Rt△EGF中，

EF=AC

EG=AD

，
∴Rt△ADC≌Rt△EGF（HL），
∴FG=DC，
∴DG=

DC，
∴AE=

AB，
∴点E是AB的中点；
（3）点E与点B重合
理由：在△ADF和△ADC中

∠FAD=∠CAD

AD=AD

∠ADF=∠ADC

，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴FD=CD，
∴AE=CD，
∴AE=AB，
∴点E与点B重合．
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△AOH∽△CBH，△AHB∽△
∴

，
∴S_△AOH：S_△CBH=1：4，S_△OH：S_△ABH=1：2．
设S_△AOH=a，则S_△ABH=2a，S_△CBH=4a，
∴S_△ABC=6a，S_△ADC=6a，
∴S四边形ABCF=18a，S四边形CDOH=5a，
∴S四边形CDOH：S四边形ABCF=

，
即S₁：S₂=

．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等和运用相似三角形的性质是解答本题的关键．

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