Question

11．如图，P是△ABC的边AB上一点，连接CP，BE⊥CP于E，AD⊥CP，交CP的延长线于D，试解答下列问题：
（1）如图①，当P为AB的中点时，连接AE，BD，证明：四边形ADBE是平行四边形；
（2）如图②，当P不是AB的中点时，取AB中点Q，连接QD，QE，证明：△QDE是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ADP≌△BEP可得DP=EP，再由AP=BP可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形ADBE是平行四边形；
（2）首先证明△ADQ≌△BFQ可得DQ=QF，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得QE=QF=QD，进而可得结论．

解答 证明：（1）∵P为AB中点，
∴AP=BP，
∵BE⊥CP，AD⊥CP，
∴∠ADP=∠BEP=90°，
∵∠APD=∠BEP，
∴在△ADP和△BEP中：
$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠BPE}\\{∠ADP=∠BEP}\\{AP=BP}\end{array}\right.$
∴△ADP≌△BEP（AAS），
∴DP=EP，
∴四边形ADBE是平行四边形；

（2）如图②，延长DQ交BE于F，
∵AD∥BE，
∴∠DAQ=∠BFQ，
在△ADQ和△BFQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAQ=∠BFQ}\\{∠AQD=∠BQF}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$，
∴△DAQ≌△FBQ（AAS），
∴DQ=QF，
∵BE⊥DC，
∴QE是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，即DQ=QE，
∴△QDE是等腰三角形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．