Question

【题目】如图，O是坐标原点，过点A(﹣1，0)的抛物线y＝x2﹣bx﹣3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点．

(1)求b的值以及点D的坐标；

(2)连接BC、BD、CD，在x轴上是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=2; D（1，﹣4）．(2) 点P的坐标（0，0）（9，0）．

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；

（2）根据相似三角形的性质，可得AP的长，根据线段的和差，可得P点坐标．

解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx﹣3，得1+b﹣3＝0，

解得b＝2．y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）．

（2）如图，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，即A（﹣1，0），B（3，0），D（1，﹣4）．

由勾股定理，得BC2＝18，CD2＝1+1＝2，BD2＝22+16＝20，BC2+CD2＝BD2，∠BCD＝90°，

①当△APC∽△DCB时，，即，解得AP＝1，即P（0，0）．

②当△ACP∽△DCB时，，即，解得AP＝10，即P′（9，0）．

综上所述：点P的坐标（0，0）（9，0）．