Question

【题目】已知：在四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，点P在BC边上，连接AP和PD，点E在DC边上，连接BE与DP和AP分别交于点F和点G，若AB=PC，BP=DC，∠DFE=45°.

（1）如图1，求证：四边形ABED为平行四边形；

（2）如图2，把△PFG沿FG翻折，得到△QFG（点P与点Q为对应点），点Q在AD上，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括平行四边形ABED，但包括特殊的平行四边形）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AGFQ是平行四边形，四边形QGFD是平行四边形.

【解析】

（1）证明△ABP≌△PCD，可以得出△PAD为等腰直角三角形，得出∠ADP=45°，可得AD∥BE，再证出AB∥DE即可解决问题；

（2）根据平行四边形的判定方法即可判断．

解：（1）∵∠ABC=∠DCB=90°，

∴∠ABC+∠DCB=180°，

∴AB∥CD，

∵AB=PC，BP=DC，

∴△ABP≌△PCD，

∴PA=PD，

∠APD=∠PDC，

∵∠PDC+∠DPC=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∴∠APD=90°，

∴△APD是等腰直角三角形，

∴∠ADP=45°，

∵∠DFE=45°，

∴∠ADP=∠DFE，

∴AD∥BE，

∴四边形ABED是平行四边形．

（2）∵∠PGF=∠PAD=45°，∠PFG=∠ADP=45°，

∴△PFG，△FGQ都是等腰直角三角形，

∴四边形PFQG是正方形，

∵∠AGF=135°，∠QFG=∠PFG=45°，

∴∠AGF+∠QFG=180°，

∴AG∥QF，

∵AQ∥FG，

∴四边形AGFQ是平行四边形，

同法可证，四边形QGFD是平行四边形，