Question

【题目】定义：按螺旋式分别延长n边形的n条边至一点，若顺次连接这些点所得的图形与原多边形相似，则称它为原图形的螺旋相似图形．例如：如图1，分别延长多边形A1A2…An的边得A1′，A2′，…，An′，若多边形A1′A2′…An′与多边形A1A2…An相似，则多边形A1′A2′…An′就是A1A2…An的螺旋相似图形．

（1）如图2，已知△ABC是等边三角形，作出△ABC的一个螺旋相似图形，简述作法，并给以证明．

（2）如图3，已知矩形ABCD，请探索矩形ABCD是否存在螺旋相似图形，若存在，求出此时AB与BC的比值；若不存在，说明理由．

（3）如图4，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，分别延长CA，AB，BC至A′，B′，C′，使△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形．若AA′＝kAC，请直接写出BB′，CC′的长（用含k的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB：BC＝1；（3）BB′＝k，CC′＝k．

【解析】

（1）如图2中，延长AB到E，延长BC到F，延长CA到D，使得BE＝CF＝AD，连接EF，DF，DE．则△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形，证明△DEF是等边三角形即可解决问题．

（2）如图3中，假设存在．四边形EFGH是矩形ABCD的螺旋相似图形，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，BE＝DG＝x，CF＝AH＝y．分两种情形，利用相似三角形的性质以及相似矩形的性质，构建关系式证明a＝b即可解决问题．

（3）如图4中，作B′T⊥CB交CB的延长线于T．设TB＝TB′＝m，证明△A′CC′≌△A′TB′（ASA），推出A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，构建关系式推出m＝k即可解决问题．

解：（1）如图2中，延长AB到E，延长BC到F，延长CA到D，使得BE＝CF＝AD，连接EF，DF，DE．则△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形．

理由：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB，

∴∠DAE＝∠FCD＝∠EBF＝120°，

∵BE＝CF＝AD，

∴CD＝AE＝BF，

∴△FCD≌△DAE≌△EBF（SAS），

∴DF＝DE＝EF，

∴△DEF是等边三角形，

∴△DEF∽△ABC，

∴△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形．

（2）如图3中，假设存在．四边形EFGH是矩形ABCD的螺旋相似图形，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，BE＝DG＝x，CF＝AH＝y．

由题意：△BEF∽△AHE，

∴＝＝，

∴＝，

当＝＝时，＝＝，

∴x＝y，ax+x2＝by+y2，

∴by+y2＝by+y2，

∴a2＝b2，

∴a＝b，即AB：BC＝1．

当＝＝时．＝＝，

∴x＝y，ax+x2＝by+y2，

∴y+y2＝by+y2，

∴y（1+）＝0，

∵y≠0，1+≠0，

∴a2＝b2，

∴a＝b，即AB：BC＝1，

综上所述，AB：BC＝1．

（3）如图4中，作B′T⊥CB交CB的延长线于T．

∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠CAB＝45°，

∴∠TBB′＝∠ABC＝45°，

∴∠TB′B＝∠TBB′＝45°，

∴TB＝TB′，设TB＝TB′＝m，

∵△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形，

∴A′C′＝B′C′，∠A′C′B′/span>＝90°，

∵∠A′C′C+∠B′C′＝90°，∠A′CC+∠C′A′C＝90°，

∴∠C′A′C＝∠B′C′T，

∵∠A′CC′＝∠T＝90°，

∴△A′CC′≌△A′TB′（ASA），

∴A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，

∴2+2k＝2+2m，

∴m＝k，

∴BB′＝k，CC′＝k．