Question

已知二次函数y=-

1

4

x²+x+2，求：
（1）函数图象的对称轴和顶点坐标
①方程x²-6x+8=0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？
（2）求证：不论a取任何实数，方程ax²-（1-3a）x+2a-1=0总有实数根．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）根据对称轴为x=-

b

2a

即可求得对称轴，根据顶点在对称轴上可以求得顶点坐标；
①方程可以化简为（x-2）（x-4）=0，即可解题；
②整理-

1

4

x²+x+2=0可得：x²-4x-8=0，解方程即可求得抛物线与x轴交点，根据抛物线开口向下即可解题；
③根据②中分析，即可解题；
（2）只需求证方程ax²-（1-3a）x+2a-1=0，△≥0，即可解题．

解答：解：（1）对称轴为x=-

b

2a

=2，代入x=2得：y=3，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3）；
①x²-6x+8=0，化简得：（x-2）（x-4）=0，
∴方程的解为：x₁=2，x₂=4；
②当-

1

4

x²+x+2=0时，整理得：x²-4x-8=0，
解得：x₁=2+2

3

，x₂=2-2

3

，
∵a=-

1

4

＜0，
∴抛物线开口向下，
∴x取值范围为2-2

3

＜x＜2+2

3

时，函数值大于0；
③由②得：x＜2-2

3

或x＞2+2

3

时，函数值小于0；
（2）方程ax²-（1-3a）x+2a-1=0，
△=（3a-1）²-4a（2a-1）=a²-2a+1=（a-1）²≥0，
∴不论a取任何实数，方程ax²-（1-3a）x+2a-1=0总有实数根．

点评：本题考查了一元二次方程的求解，考查了抛物线与x轴交点的求证，考查了抛物线开口方向的判定，本题中求得抛物线开口方向是解题的关键．