Question

如图，AB、CD为弦，AB⊥CD于点P．求PA²+PB²+PC²+PD²的值．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：计算题

分析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，如图，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得AM=BM，CN=DN，再表示出PA=AM-PM=MB-PM，PB=PM+BM，PD=DN-PN=CN-PN，PC=PN+CN，所以PA²+PB²+PC²+PD²，整理得2（BM²+PM²+CN²+PN²），接着利用四边形OMPN为矩形得到PN=OM，PM=ON，则PA²+PB²+PC²+PD²=2（BM²+ON²+CN²+OM²），然后根据勾股定理得到BM²+OM²=OB²=r²，CN²+ON²=OC²=r²，于是PA²+PB²+PC²+PD²=2（r²+r²）=4r²．

解答：解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，如图，设⊙O的半径为r，
则AM=BM，CN=DN，
∵PA=AM-PM=MB-PM，PB=PM+BM，
PD=DN-PN=CN-PN，PC=PN+CN，
∴PA²+PB²+PC²+PD²=（MB-PM）²+（PM+BM）²+（CN-PN）²+（PN+CN）²=2（BM²+PM²+CN²+PN²），
∵AB⊥CD，
∴四边形OMPN为矩形，
∴PN=OM，PM=ON，
∴PA²+PB²+PC²+PD²=2（BM²+PM²+CN²+PN²）=2（BM²+ON²+CN²+OM²），
而BM²+OM²=OB²=r²，CN²+ON²=OC²=r²，
∴PA²+PB²+PC²+PD²=2（r²+r²）=4r²．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．