Question

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为（1，0），OB=OC，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）作出△ABC的外接圆；
（3）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＜∠ACB，求出点P的纵坐标的取值范围；
（4）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A′，若QA-QB=

2

，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先将已知的抛物线解析式进行配方，得出对称轴方程后结合A点坐标可确定B点的坐标，由OB=OC的条件能得到C点坐标，利用待定系数法即可确定函数的解析式．
（2）作BC的垂线交对称轴于点F，以点F为圆心，以FB为半径作⊙F就是△ABC的外接圆；
（3）由点F的坐标为（2，2），可得当∠APB＜∠ACB，对称轴上的点P_纵坐标＞2或P_纵坐标＜-2时，∠APB＜∠ACB，
（4）A、A′关于角平分线对称，那么QA、QA′也关于该角平分线对称，即QA=QA′，那么QA-QB的长其实就是AB的长，可由这个条件入手解答；易知点D、B的坐标，能求出∠ABD的度数（或相关三角函数值），过A′作A′N⊥x轴，在构建的Rt△A′BN中，∠A′BN的度数已求出，可得到BN、A′N的长，即可求出A′的坐标和直线A′B的解析式，然后设出点Q坐标，表示出AQ、A′Q的长，以这两条线段相等作为等量条件求出点Q的坐标．

解答：解：（1）如图1，

∵y=ax²-4ax+4a+c=a（x-2）²+c，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∵抛物线y=ax²-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），OB=3．
可得该抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3）．
∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴OC=3，点C的坐标为（0，3）．
将点C（0，3）代入该解析式y=a（x-1）（x-3）．
解得a=1．
∴此抛物线的解析式为y=x²-4x+3．
（2）如图2，作BC的垂线交对称轴于点F，以点F为圆心，以FB为半径作⊙F就是△ABC的外接圆；

（3）由图2可得，点F的坐标为（2，2）
∴当∠APB＜∠ACB，对称轴上的点P_纵坐标＞2或P_纵坐标＜-2时，∠APB＜∠ACB，
（4）∵点B、D的坐标分别为B（3，0）、D（2，-1），
可得直线BD的解析式为y=x-3，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．
∵点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，如图3，

若设AA'与∠AQB的平分线的交点为M，
则有 QA=QA'，AM=A'M，AA'⊥QM，Q，B，A'三点在一条直线上．
∵QA-QB=

2

，
∴BA'=QA'-QB=QA-QB=

2

，
作A'N⊥x轴于点N．
∵点Q在线段BD上，Q，B，A'三点在一条直线上，
∴A'N=BA'•sin45°=1，BN=BA'•cos45°=1．
∴点A'的坐标为（4，1）．
∵点Q在线段BD上，
∴设点Q的坐标为Q（x，x-3），其中2＜x＜3．
∵QA=QA'，
∴由两点间的距离公式得 （x-1）²+（x-3）²=（x-4）²+（x-3-1）²，
解得x=

11

4

，经检验，x=

11

4

，在2＜x＜3的范围内．
∴点Q的坐标为Q（

11

4

，-

1

4

）．

点评：本题主要考查了二次函数题综合题，融合了圆、解直角三角形、轴对称图形等重点知识，使得难度增加不少，解题的关键，应注意并总结转化思想在解题中的妙用．