Question

如图，抛物线y=ax²+bx-5交x轴于A（-1，0），B（5，0），顶点为D，交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线上求点N，使S_△ABN=2S_△ABD；
（3）在x轴上找一点M，使△_MAC是等腰三角形；
（4）在线段BC下方的抛物线上求一点H，使S_△BCH最大．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解一元二次方程-公式法,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）易得抛物线顶点D为（2，-9），从而可求出S_△ABD、S_△ABN，进而得到点N的纵坐标，将其代入抛物线的解析式，就可求出点N的坐标；
（3）可分三种情况（①CM=CA，②AM=AC，③MA=MC）讨论，然后运用等腰三角形的性质、勾股定理等知识就可求出点M的坐标；
（4）设点H的坐标为（m，n），过点H作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点G，则x_G=x_E=x_H=m．然后运用待定系数法可求出直线BC的解析式，从而可用m的代数式表示y_G、GH、S_△BCH，然后运用配方法就可解决问题．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-5交x轴于A（-1，0），B（5，0），
∴

a-b-5=0 25a+5b-5=0

，
解得：

a=1 b=-4

，
∴抛物线解析式为y=x²-4x-5；

（2）由y=x²-4x-5=（x-2）²-9得顶点D的坐标为（2，-9），
∴S_△ABD=

1

2

×（5+1）×9=27，
∴S_△ABN=2S_△ABD=54．
∵S_△ABN=

1

2

×（5+1）×

.

yN

.

=3

.

yN

.

，
∴3

.

yN

.

=54，
解得：y_N=±18．
∵y≥-9，∴y_N=18．
此时x_N²-4x_N-5=18，
解得：x_N=2±3

3

，
∴点N的坐标为（2+3

3

，18）或（2-3

3

，18）．

（3）如图1，
当x=0时，y=-5，
∴点C的坐标为（0，-5），OC=5．
①若CA=CM，
∵CO⊥AM，∴OM=OA=1，
∴点M（1，0）．
②若AM=AC，
则AM=AC=

OA2+OC2

=

12+52

=

26

，
∴点M为（-1+

26

，0）或（-1-

26

，0）．
③若MA=MC，
设OM=x，则MC=MA=OM+OA=x+1，
在Rt△MOC中，
根据勾股定理可得：x²+5²=（x+1）²，
解得：x=12，
∴点M为（12，0），
综上所述：点M的坐标为（1，0）、（-1+

26

，0）、（-1-

26

，0）、（12，0）．

（4）设点H的坐标为（m，n），则有n=m²-4m-5．
过点H作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点G，如图2，
则x_G=x_E=x_H=m．
设直线BC的解析式为y=kx+t，
则有

5k+t=0 t=-5

，
解得：

k=1 t=-5

，
∴直线BC的解析式为y=x-5，
∴y_G=x_G-5=m-5，
∴GH=y_G-y_H=（m-5）-（m²-4m-5）=-m²+5m，
∴S_△BCH=S_△CGH+S_△BGH
=

1

2

GH•OE+

1

2

GH•BE
=

1

2

GH•OB
=

5

2

（-m²+5m）
=-

5

2

（m-

5

2

）²+

125

8

，
∴当m=

5

2

时，S_△BCH取到最大值为

125

8

，
此时点H的坐标为（

5

2

，-

35

4

）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，综合性比较强，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键，运用割补法及配方法是解决第（4）小题的关键．