Question

已知二次函数y=-x²+bx+c的图象与反比例函数y=

4

x

的图象交于A（-2，y₁）、B（2，y₂）、C（1，y₃）三点．
（1）求二次函数y=-x²+bx+c的解析式；
（2）如图1，设抛物线与y轴交于点D，连接DB并延长交x轴于点E，连接AB、AD、AE，求证：∠EAB=∠DAB；
（3）如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点P，使得S_△ABP=S_△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求得A、B、C的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）求得D的坐标个E的坐标，证明B是DE的中点，然后证明AB⊥DE即可证得；
（3）S_△ABP=S_△ABC，则P在平行于AB且经过点C或经过C关于AB的对称点的直线上，求得直线的解析式，直线与二次函数的交点就是P．

解答：解：（1）把x=-2代入y=

4

x

得：y=-2，则A的坐标是（-2，-2），
同理，B的坐标是（2，2），C的坐标是（1，4），
根据题意得：

-4-2b+c=-2 -4+2b+c=2

，
解得：

b=1 c=4

．
则二次函数的解析式是：y=-x²+x+4；
（2）在y=-x²+x+4中令x=0，解得y=4，则D的坐标是（0，4），
设直线DB的解析式是y=kx+b，
则

b=4 2k+b=2

，
解得：

b=4 k=-1

，
则直线DB的解析式是y=-x+4，
令y=0，解得：x=4，
则E的坐标是（4，0）．
则B是DE的中点．
设OB的解析式是y=mx，把（2，2）代入得：k=1，则OB⊥BD，
∴∠EAB=∠DAB；
（3）设过C且平行于AB的直线的解析式是y=x+n，把C（1，4）代入得：1+n=4，
解得：n=3，
则直线的解析式是y=x+3，
解方程组：

y=x+3 y=-x2+x+4

，
解得：

x=1 y=4

或

x=-1 y=2

，
则P的坐标是（1，4）或（-1，2）；
C关于直线OB的对称点是（4，1），
同理，过（4，1）且平行于AB的直线的解析式是：y=x-3，
则解方程组

y=x-3 y=-x2+x+4

，
解得：

x= 7 y= 7 -3

或

x=- 7 y=- 7 -3

，
则P的坐标是（

7

，

7

-3）或（-

7

，-

7

-3）．
总之，P的坐标是：（1，4）或（-1，2）或（

7

，

7

-3）或（-

7

，-

7

-3）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及反比例函数的图象的性质，双曲线是轴对称图形，对称轴是y=x和y=-x．