【题目】“十字相乘法”能把二次三项式分解因式,对于形如ax2+bxy+cy2的关于x,y的二次三项式来说,方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1,a2的积,即a=a1a2,把y2项系数c分解成两个因数c1,c2的积,即c=c1c2,并使a1c2+a2c1正好等于xy项的系数b,那么可以直接写成结果:ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y).
例:分解因式:x2﹣2xy﹣8y2.
解:如图1,其中1=1×1,﹣8=(﹣4)×2,而﹣2=1×2+1×(﹣4).
∴x2﹣2xy﹣8y2=(x﹣4y)(x+2y)
而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解,如图2,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则,则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k);
例:分解因式:x2+2xy﹣3y2+3x+y+2
解:如图3,其中1=1×1,﹣3=(﹣1)×3,2=1×2;
而2=1×3+1×(﹣1),1=(﹣1)×2+3×1,3=1×2+1×1;
∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=(x﹣y+1)(x+3y+2)
请同学们通过阅读上述材料,完成下列问题:
(1)分解因式:
①6x2﹣17xy+12y2=
②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=
③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=
(2)若关于x,y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积,求m的值.
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【题目】如图,一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射,当火箭到达点A,B时,在雷达站C处测得点A,B的仰角分别为34°,45°,其中点O,A,B在同一条直线上.求AC和AB的长(结果保留小数点后一位)(参考数据:sin34°≈0.56;cos34°≈0.83;tan34°≈0.67)
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【题目】如图,已知线段,是线段上任意一点(不与点、重合),分别以、为边,在的同侧作等边和,连接与交于点,连接.
当时,试求的正切值;
若线段是线段和的比例中项,试求这时的值;
记四边形的面积为,当在线段上运动时,与是否成正比例,若成正比例,试求出比例系数;若不成正比例,试说明理由.
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【题目】近年来,安全快捷、平稳舒适的中国高铁,为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆.随着中国特色社会主义进入新时代,作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程,跑出发展新速度,这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短,但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车;已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米,普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍,请完成以下问题:
(1)普通列车的行驶路程为多少千米?
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求普通列车和高铁的平均速度.
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【题目】如图所示,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH,若EH=3,EF=4,那么线段AD与AB的比等于( )
A. 25:24 B. 16:15 C. 5:4 D. 4:3
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【题目】图1所示的遮阳伞,伞柄垂直于水平地面,其示意图如图2、当伞收紧时,点P与点A重合;当伞慢慢撑开时,动点P由A向B移动;当点P到达点B时,伞张得最开、已知伞在撑开的过程中,总有PM=PN=CM=CN=6.0分米,CE=CF=18.0分米,BC=2.0分米、设AP=x分米.
(1)求x的取值范围;
(2)若∠CPN=60°,求x的值;
(3)设阳光直射下,伞下的阴影(假定为圆面)面积为y,求y关于x的关系式(结果保留π).
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【题目】已知二元一次方程,通过列举将方程的解写成下列表格的形式:
-1 | 5 | 6 | |||
6 | 5 | 0 |
如果将二元一次方程的解所包含的未知数的值对应直角坐标系中一个点的横坐标,未知数的值对应这个点的纵坐标,这样每一个二元一次方程的解,就可以对应直角坐标系中的一个点,例如:方程的解的对应点是.
(1)表格中的________,___________;
(2)通过以上确定对应点坐标的方法,将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标,并在所给的直角坐标系中画出这五个点;根据这些点猜想方程的解的对应点所组成的图形是_________,并写出它的两个特征①__________,②_____________;
(3)若点好落在的解对应的点组成的图形上,求的值.
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【题目】数学课上,张老师出示了如下框中的题目.
已知,在中,,,点为的中点,点和点分别是边和上的点,且始终满足,试确定与的大小关系.
小明与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)(特殊情况,探索结论)如图1,若点与点重合时,点与点重合,容易得到与的大小关系.请你直接写出结论:____________(填“”,“”或“”).
(2)(特例启发,解答题目)如图2,若点不与点重合时,与的大小关系是:_________(填“”,“”或“”).理由如下:连结,(请你完成剩下的解答过程)
(3)(拓展结论,设计新题)在中,,点为的中点,点和点分别是直线和直线上的点,且始终满足,若,,求的长.(请你直接写出结果)
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【题目】我国边防局接到情报,近海处有一可疑船只正向公海方向行驶,边防部迅速派出快艇追赶(如图1) .图2中分别表示两船相对于海岸的距离 (海里)与追赶时间(分)之间的关系.根据图象问答问题:
(1)①直线与直线中 表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系;
②与比较 速度快;
③如果一直追下去,那么________ (填 “能”或“不能")追上;
④可疑船只速度是 海里/分,快艇的速度是 海里/分;
(2)与对应的两个一次函数表达式与中的实际意义各是什么?并直接写出两个具体表达式.
(3)分钟内能否追上?为什么?
(4)当逃离海岸海里的公海时,将无法对其进行检查,照此速度,能否在逃入公海前将其拦截?为什么?
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