Question

已知，如图，点B（0，1），点F（-2，0），直线BF与抛物线交于A，B两点，若抛物线图象顶点为C（1，0），
（1）求直线BF与抛物线函数关系式；
（2）P为线段AB上一动点（P不与A，B重合），过P做x轴垂线与二次函数交于点E，设线段PE长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x取值范围；
（3）D为线段AB与二次函数对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）中，线段AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为等腰梯形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线BF的解析式为y=kx+b，把B（0，1），F（-2，0）代入得，b=1，-2k+b=0，解得k=，b=1，
∴直线BF的解析式为y=x+1；
设抛物线的顶点式为y=a（x-1）²，把B（0，1）代入得，1=a（0-1）²，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²=x²-2x+1；
（2）∵点P横坐标为x，点P在直线AB上，
∴点P的纵坐标为x+1，
又∵PE⊥x轴，
∴点E横坐标为x，
而点E在抛物线y=x²-2x+1上，
∴点E的纵坐标为x²-2x+1，
∴PE=h=x+1-（x²-2x+1），
即h=-x²+x，
解方程组得，，
∴A点坐标为（，），
∴x的取值范围为0＜x＜，
∴h与x之间的函数关系式为h=-x²+x（0＜x＜）；
（3）存在．理由如下：
∵D为线段AB与二次函数对称轴的交点，而顶点为C（1，0），
∴点D坐标为（1，），
∴DC=，
又∵四边形DCEP为平行四边形，
∴DC=PE=h，
∴-x²+x=，解得x₁=1，x₂=，
当x=时，y=x+1=，
∴P点坐标为（，）；
（4）存在．理由如下：
如图，作PG⊥DC与G，EH⊥DC与H，
∵P（x，x+1），E（x，x²-2x+1），
∴G点坐标为（1，x+1），H点坐标为（1，x²-2x+1），
又∵四边形DCEP为等腰梯形，
∴DG=CH，
∴-（x+1）=x²-2x+1，解得x₁=1，x₂=，
当x=时，y=x+1=，
∴P点坐标为（，）．
分析：（1）设直线BF的解析式为y=kx+b，抛物线的顶点式为y=a（x-1）²，利用待定系数法分别确定它们的解析式；
（2）由点P在直线AB上，则P（x，x+1），而PE⊥x轴，得E（x，x²-2x+1），则PE=h=x+1-（x²-2x+1）；解方程组可得到A点坐标，从而可确定x的取值范围；
（3）先得到点D坐标为（1，），即DC=，再根据平行四边形的性质得DC=PE=h，即-x²+x=，求出x，即可得到P点坐标；
（4）作PG⊥DC与G，EH⊥DC与H，由P（x，x+1）和E（x，x²-2x+1）可得到G点坐标为（1，x+1），H点坐标为（1，x²-2x+1），根据等腰梯形的性质得-（x+1）=x²-2x+1，解方程求出x则易得到P点坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合题：利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点式以及点在图象上则点的横纵坐标满足图象的解析式．也考查了平行四边形和等腰梯形的性质、一元二次方程的解法．