Question

7．四边形ABCD中，BC⊥CD，∠BCA=60°，∠CDA=135°，BC=10．S_△ABC=20$\sqrt{3}$．求AD边的长．

Answer 1

分析 作AF⊥AC于F，作AE⊥CD交CD的延长线于E，利用三角形的面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AF和锐角三角函数的概念求解．

解答 解：作AF⊥BC于F，作AE⊥CD交CD的延长线于E．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AF=$\frac{1}{2}$×10×AF=20$\sqrt{3}$，
∴AF=4$\sqrt{3}$，
∵sin∠BCA=sin60°=AF：AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=8．
∵BC⊥CD，AE⊥CD
∴∠CAE=∠BCA=60°，
∴∠ACD=90°-60°=30°，
∵∠CDA=135°，
∴AE=ED=sin∠ACD•AC=4．
在等腰直角三角形中AD=$\sqrt{2}$AE=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．