Question

如图，相交于P（3，3）的互相垂直的两直线a、b中直线a与x轴正半轴交于点A，直线b与y轴正半轴交于点B．
（1）如果OB=1，求出符合上述条件的直线b与直线a的一次函数式；
（2）对OB不同的取值，线段PA与PB相等吗？为什么？四边形OAPB的面积是否为定值？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法，设直线a、b的解析式为y=kx+m和y=cx+n，由题意知m=OB=1，再把点P的坐标代入可求得b的解析式，再由两直线互相垂直和过点P求得直线a的解析式；
（2）由题意可知A、P、B、O四点共圆，所以∠POB=∠PAB=45°，可知PA=PB；过点P分别作PX⊥x轴，PY⊥y轴，垂足分别为X和Y，则可证得Rt△AXP≌△BYP，故四边形OAPB的面积=矩形OXPY的面积，可知为定值．

解答：解：（1）由OB=1，
设直线b的解析式为y=kx+1，再把P点坐标代入可得3=3k+1，
解得k=

2

3

，
所以直线b的解析式为：y=

2

3

x+1，
设直线a的解析式为y=cx+m，由题意直线a和直线b互相垂直，所以可知ck=-1，
所以c=-

3

2

，
再把点P的坐标代入可得3=-

3

2

×3+m，
解得m=

15

2

，
所以直线a的解析式为：y=-

3

2

x+

15

2

；
（2）PA=PB，理由如下：
∵∠O+∠BAP=180°，
∴O、A、P、B四点共圆，
∴∠BAP=∠POB=45°，
∴PA=PB；
四边形OAPB的面积为定值，理由如下：

如图，过点P分别作PX⊥x轴，PY⊥y轴，垂足分别为X和Y，
则四边形OXPY为矩形，其面积为9，
∴∠YPB+∠BPX=∠XPA+∠BPX=90°，
∴∠YPB=∠XPA，
在△YBP和△XAP中，

∠PYB=∠PXA=90° ∠YPB=∠XPA PB=PA

，
∴△YBP≌△XAP（AAS），
∴S_△YBP=S_△XAP，
∴S_{四边形OAPB}=S_{四边形OXPB}+S_△XAP=S_{四边形OXPB}+S_△YBP=S_矩形OXPY=9，
∴四边形OAPB的面积为定值．

点评：本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，找出点的坐标是解题的关键，在解决有关面积问题时注意“割”和“补”两种方法的应用．