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【题目】如图,在ABC中,AE平分∠BACBEAE于点E,点FBC的中点.

1)如图1BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=ACAB);

2)如图2,请直接写出线段ABACEF之间的数量关系。

【答案】(1)详见解析;(2)EF(ABAC),理由详见解析.

【解析】

1)先证明AB=AD,根据等腰三角形的三线合一,推出BE=ED,根据三角形的中位线定理即可解决问题;

2)先证明AB=AP,根据等腰三角形的三线合一,推出BE=ED,根据三角形的中位线定理即可解决问题.

(1)证明 如图1中,

AEBD

∴∠AED=∠AEB90°

∴∠BAE+∠ABE90°,∠DAE+∠ADE90°

∵∠BAE=∠DAE

∴∠ABE=∠APE

ABAD,∵AEBD

BEDE,∵BFFC

EFDC(ACAD)(ACAB)

(2)结论:EF(ABAC)

理由:如图2中,延长ACBE的延长线于P.

AEBP

∴∠AEP=∠AEB90°

∴∠BAE+∠ABE90°,∠PAE+∠APE90°

∵∠BAE=∠PAE

∴∠ABE=∠ADE

ABAP

AEBD

BEPE

BFFC

EFPC(APAC)(ABAC)

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