【题目】如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.
(1)如图1,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(AC﹣AB);
(2)如图2,请直接写出线段AB、AC、EF之间的数量关系。
【答案】(1)详见解析;(2)EF=(AB-AC),理由详见解析.
【解析】
(1)先证明AB=AD,根据等腰三角形的三线合一,推出BE=ED,根据三角形的中位线定理即可解决问题;
(2)先证明AB=AP,根据等腰三角形的三线合一,推出BE=ED,根据三角形的中位线定理即可解决问题.
(1)证明 如图1中,
∵AE⊥BD,
∴∠AED=∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,∠DAE+∠ADE=90°,
∵∠BAE=∠DAE,
∴∠ABE=∠APE,
∴AB=AD,∵AE⊥BD,
∴BE=DE,∵BF=FC,
∴EF=DC=(AC-AD)=(AC-AB).
(2)结论:EF=(AB-AC),
理由:如图2中,延长AC交BE的延长线于P.
∵AE⊥BP,
∴∠AEP=∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,∠PAE+∠APE=90°,
∵∠BAE=∠PAE,
∴∠ABE=∠ADE,
∴AB=AP,
∵AE⊥BD,
∴BE=PE,
∵BF=FC,
∴EF=PC=(AP-AC)=(AB-AC).
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【题目】数学活动课上,数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形,下面是他们探究的部分结果:
(1)如图1,当时,拼成的大正方形的边长为_________;
(2)如图2,当时,拼成的大正方形的边长为__________;
(3)如图3,当时,①拼成的大正方形的边长为__________.
②沿着正方形纸片边的方向能否载出一块面积为的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2?若能,请给出一种合适的裁剪方案;若不能,请说明理由.
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【题目】已知:如图所示,O为数轴的原点,A,B分别为数轴上的两点,A点对应的数为﹣30,B点对应的数为100.
(1)A、B的中点C对应的数是 ;
(2)若点D数轴上A、B之间的点,D到B的距离是D到A的距离的3倍,求D对应的数.(提示:数轴上右边的点对应的数减去左边对应的数等于这两点间的距离);
(3)若P点和Q点是数轴上的两个动点,当P点从B点出发,以6个单位长度/秒的速度向左运动时,Q点也从A点出发,以4个单位长度/秒的速度向右运动,设两点在数轴上的E点处相遇,那么E点对应的数是多少?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD=CD,点E是边AC的中点,连接DE,DE的延长线与边BC相交于点F,AG∥BC,交DE于点G,连接AF、CG.
(1)求证:AF=BF;
(2)如果AB=AC,求证:四边形AFCG是正方形.
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【题目】如图1,已知AB∥CD,那么图1中∠PAB、∠APC、∠PCD之间有什么数量关系?并说明理由.
如图2,已知∠BAC=80°,点D是线段AC上一点,CE∥BD,∠ABD和∠ACE的平分线交于点F,请利用(1)的结论求图2中∠F的度数.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,过对角线BD上任意一点P,作EF∥BC,GH∥AB,下列结论:①图中共有3个菱形;②△BEP≌△BGP;③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半;④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长.其中正确的是________.(填序号)
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【题目】定义:有一组对角互补的凸四边形叫做“对补四边形”,性质:“对补四边形”一定是圆内接四边形.
(1)概念理解:请你根据上述描述定义举一个“对补四边形”的例子;
(2)问题探究:如图1,在对补四边形ABCD中,如果∠A=∠C,试探究AB、AD、BC、CD之间的数量关系,并说明理由;
(3)应用拓展:如图2,在四边形ABCD中,AB≠BC,∠A=∠C=90°,连接BD,将△BCD沿BD折叠,得到△BFD.
①连接AF,四边形ABDF是对补四边形吗?请说明理由;
②若AB=1,BD=2,且BF把△ABD分成两个三角形的面积比为1:2,请求出CD的长.
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【题目】近年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现:从零时起,井内空气中CO的浓度达到4mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7小时达到最高值46mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的CO浓度成反比例下降.如图所示,根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围;
(2)当空气中的CO浓度达到34mg/L时,井下3km的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?
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