Question

如图，已知∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，AB与⊙O相切于D，AO的延长线交BC于E．证明：AD•AE=AO•AC．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：设⊙O与AC交于点F，连接AF，根据切线的性质可得出OF⊥AC，即可证明△AOF∽△AEC，进而得出比例式，再转化为乘积式．

解答：证明：设⊙O与AC交于点F，连接AF，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO=90°，
∵∠C=90°，
∴∠AFO=∠C，
∴△AOF∽△AEC，
∴

AF

AC

=

AO

AE

，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴AD=AF，
∴

AD

AC

=

AO

AE

，
∴AD•AE=AO•AC，
即AD•AE=AO•AC．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心以及相似三角形的判定和性质，是一道综合性较强的题目，难度不大．