Question

【题目】如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=．

（1）求证：△ABP∽△PCD；

（2）求△ABC的边长．

Answer 1

【答案】（1证明见解析；（2）3.

【解析】

（1）根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，即可得出结论；

（2）与相似三角形的性质得出比例式，代入求出AB即可．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，

∴∠BAP+∠APB=180°﹣60°=120°，

∵∠APD=60°，

∴∠APB+∠DPC=180°﹣60°=120°，

∴∠BAP=∠DPC，

即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，

∴△ABP∽△PCD；

（2）解：∵△ABP∽△PCD，

∴,

∵CD=，CP=BC﹣BP=x﹣1，BP=1，

即，

解得：AB=3．

即△ABC的边长为3