Question

如图，边长为1的菱形ABCD中，A在原点，B在x轴正半轴上，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC₁D₁，∠D₁AC=60°；连接AC₁，再以AC₁为边作第三个菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°，…，C、C₁、C₂、C₃…按逆时针方向排列，按此规律所作的第2015个菱形AC₂₀₁₃C₂₀₁₄D₂₀₁₄的顶点C₂₀₁₄的坐标为

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质,坐标与图形性质

专题：规律型

分析：连接BD交AC于E，根据菱形的对角线平分一组对角线求出∠BAC=30°，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，然求出AE，再求出AC，从而判断出下一个菱形的边与上一个菱形的边的夹角为30°并且边长为上一个菱形边长的

3

倍，然后判断出每12个菱形为一个循环组依次循环，再用2015除以12，根据商和余数的情况确定出点C₂₀₁₄的位置与长度，然后解直角三角形并写出点C₂₀₁₄的坐标即可．

解答：解：如图，连接BD交AC于E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°，AC⊥BD，
∴AE=AB•cos30°=

3

2

AB，
∴AC=2AE=2×

3

2

AB=

3

×1=

3

，
同理∠CAC₁=30°，AC₁=（

3

）²，
…，
每12个菱形为一个循环组依次循环，且AC₂₀₁₄=（

3

）²⁰¹⁵，
∵2015÷2=167余11，
∴菱形AC₂₀₁₃C₂₀₁₄D₂₀₁₄是第168组的最后一个菱形，AC₂₀₁₄在第四象限，
∵（

3

）²⁰¹⁵×

3

2

=

( 3 )2016

2

，
（

3

）²⁰¹⁵×

1

2

=

( 3 )2015

2

，
∴顶点C₂₀₁₄的坐标为（

( 3 )2016

2

，-

( 3 )2015

2

）．
故答案为：（

( 3 )2016

2

，-

( 3 )2015

2

）．

点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数，熟记性质并求出菱形的边的规律性变化是解题的关键．