Question

20．用你发现的规律解答下列问题．
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；…
（1）计算$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+$\frac{1}{5×6}$=$\frac{5}{6}$．
（2）探究$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$．（用含有n的式子表示）
（3）若 $\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×10}$+…+$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$的值为$\frac{15}{46}$，求n的值．

Answer 1

分析 （1）仿照题中的规律将原式变形，计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）根据题意列出方程，利用得出的规律变形，计算即可求出n的值．

解答 解：（1）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$=1-$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$；
（2）根据题意得：原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）根据题意得：$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{15}{46}$，即$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{15}{46}$，
解得：n=15．
故答案为：（1）$\frac{5}{6}$；（2）$\frac{n}{n+1}$

点评 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．