Question

5．课本中，把长与宽之比为$\sqrt{2}$的矩形纸片称为标准纸．将一张标准纸按如图一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，问第4次对开后所得标准纸的周长是$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，第2013次对开后所得标准纸的周长$\frac{2+\sqrt{2}}{{2}^{1006}}$．

Answer 1

分析 由矩形的性质和题意求出第一次、第二次、第三次、第四次对开后所得标准纸的周长，得出规律，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=1，AD=BC=$\sqrt{2}$，
根据题意得：第一次对开后所得标准纸的周长=2+$\sqrt{2}$；
第二次对开后所得标准纸的周长=1+$\sqrt{2}$；
第三次对开后所得标准纸的周长=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$；
第四次对开后所得标准纸的周长=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，…，得出规律，
当n为奇数时，第n次对开后所得标准纸的周长=$\frac{2+\sqrt{2}}{{2}^{\frac{n-1}{2}}}$，
∴第2013次对开后所得标准纸的周长=$\frac{2+\sqrt{2}}{{2}^{1006}}$．
故答案为 $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{{2}^{1006}}$．

点评 本题考查了矩形的性质、矩形周长的计算；熟练掌握矩形的性质，通过计算得出规律是解决问题的关键．