Question

15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，请利用线段之比可转化为面积之比的思路方法，求证：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$．

Answer 1

分析 过点C作CE∥AB与AD的延长线相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠E，然后求出△ABD和△ECD相似，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{CE}$，根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再求出∠CAD=∠E，根据等角对等边可得AC=CE，从而得证．

解答 如图，过点C作CE∥AB与AD的延长线相交于点E，则∠BAD=∠E，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△ECD，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{CE}$，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠E，
∴AC=CE，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$．

点评 本题考查了角平分线，相似三角形的判定与性质，主要利用了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比的证明，难点在于（2）作辅助线构造出相似三角形和等腰三角形．