Question

【题目】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：

（1）在第n个图中，第一横行共　 　 块瓷砖，第一竖列共有　 　 块瓷砖；（均用含n的代数式表示）铺设地面所用瓷砖的总块数为　 　（用含n的代数式表示，n表示第n个图形）

（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

（3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．

Answer 1

【答案】（1） n+3，n+2，n2+5n+6或（n+2）（n+3）；（2）20；（3）不存在

【解析】

（1）第一个图形用的正方形的个数=3×4=12，第二个图形用的正方形的个数=4×5=20，第三个图形用的正方形的个数=5×6=30…以此类推，通过观察即可求出在第n个图中，第一横行共n+3块瓷砖，第一竖列共有n+2块瓷砖；第n个图形用的正方形的个数=（n+2）（n+3）个；

（2）根据题意可得（n+2）（n+3）=506，解关于n的一元二次方程即可；

（3）第一个图形中白色瓷块有1×2=2，黑色瓷块=2×5=10，第二个图形中白色瓷块有2×3=6，黑色瓷块=2×7=14，第三个图形中白色瓷块有3×4=12，黑色瓷块=2×9=18…那么依此类推第n个图形中有白色瓷块=n（n+1），黑色瓷块=2（2n+3），根据题意可得n（n+1）=2（2n+3），解关于n的方程即可．

解：（1）通过观察得：n=1时，横行有1+3块，竖列有1+2块，

n=2时，横行有2+3块，竖列有2+2块，

n=3时，横行有3+3块，竖列有3+2块，

…，

所以在第n个图中，每一横行共有n+3块，每一竖列共有n+2块，

第一个图形用的正方形的个数=3×4=12,第二个图形用的正方形的个数=4×5=20,第三个图形用的正方形的个数=5×6=30…以此类推, 在第n个图中，第n个图形用的正方形的个数=(n+2)(n+3)个；

故答案为：n+3，n+2，n2+5n+6或（n+2）（n+3）；

（2）根据题意得：n2+5n+6=506，

解得n1=20，n2=﹣25（不符合题意，舍去）；

（3）第一个图形中白色瓷块有1×2=2，黑色瓷块=2×5=10，

第二个图形中白色瓷块有2×3=6，黑色瓷块=2×7=14，

第三个图形中白色瓷块有3×4=12，黑色瓷块=2×9=18…

那么依此类推第n个图形中有白色瓷块=n（n+1），黑色瓷块=2（2n+3），

根据题意可得n（n+1）=2（2n+3）；

解得n=（不符合题意，舍去），

∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．