Question

【题目】将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系xOy内，点A（6，0），点C（0，4），点O（0，0）．点P是线段BC上的动点，将△OCP沿OP翻折得到△OC′P．

（Ⅰ）如图①，当点C′落在线段AP上时，求点P的坐标；

（Ⅱ）如图②，当点P为线段BC中点时，求线段BC′的长度．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）P（6﹣2，4）；（Ⅱ）BC′＝

【解析】

（Ⅰ）如图①，证明AO＝AP＝6，利用勾股定理求出PB即求出点P的坐标．
（Ⅱ）如图②，连接CC′交OP于D．解直角三角形求出PD，利用三角形的中位线定理即可解决问题．

（Ⅰ）∵A（5，0），点C（0，3），

∴OA＝6，OC＝4，

由翻折可知：∠OPC＝∠OPA，

∵BC∥OA，

∴∠OPC＝∠OPA，

∴∠POA＝∠OPA，

∴OA＝PA＝6，

在Rt△PAB中，

∵∠B＝90°，AB＝4，PA＝6，

∴PB＝＝2，

∴PC＝BC﹣PB＝6﹣2，

∴P（6﹣2，4）．

（Ⅱ）如图②，连接CC′交OP于D．

在Rt△OPC中，∵OC＝4，PC＝3，

∴OP＝＝5，

∵OP垂直平分线段CC′，

又∵OPCD＝OCPC，

∴CD＝，

PD＝，

∵PC＝PB，CD＝DC′，

∴BC′＝2PD＝．