Question

【题目】有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC=120cm，高AD=80cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示。

（1）求矩形纸片较长边EH的长；

（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确.

Answer 1

【答案】（1）75（2）小聪的剪法不正确

【解析】

（1）易证，根据相似三角形对应线段成比例可求得EH长；（2）设正方形的边长为a cm，用a的式子表示出AK，根据，对应线段成比例可求出a，再求出与边EH平行的中位线的长，比较可知小聪的减法是否正确.

解：（1）记AD与PQ，EH的交点分别为点K，R.

设cm， cm，由矩形的性质，得，易证，

∴，即，

解得，（cm），∴矩形纸片较长边EH的长为75cm.

（2）小聪的剪法不正确.理由如下：

设正方形的边长为a cm；，，由题意易得，，∴，即，解得.

与边EH平行的中位线的长为（cm），∵，∴小聪的剪法不正确.