Question

【题目】如图，已知，点为边中点，点在线段上运动，点在线段上运动，连接，则周长的最小值为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

作梯形ABCD关于AB的轴对称图形，将BC'绕点C'逆时针旋转120°，则有GE'=FE'，P与Q是关于AB的对称点，当点F'、G、P三点在一条直线上时，△FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P，此时点P与点M重合，F'M为所求长度；过点F'作F'H⊥BC'，M是BC中点，则Q是BC'中点，由已知条件∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，可得C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，所以F'H=，HC'=1，在Rt△MF'H中，即可求得F'M．

作梯形ABCD关于AB的轴对称图形，

作F关于AB的对称点G，P关于AB的对称点Q，

∴PF=GQ，

将BC'绕点C'逆时针旋转120°，Q点关于C'G的对应点为F'，

∴GF'=GQ，

设F'M交AB于点E'，

∵F关于AB的对称点为G，

∴GE'=FE'，
∴当点F'、G、P三点在一条直线上时，△FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P，此时点P与点M重合，

∴F'M为所求长度；
过点F'作F'H⊥BC'，
∵M是BC中点，
∴Q是BC'中点，
∵∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，
∴C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，
∴F'H=，HC'=1，

∴MH=7，
在Rt△MF'H中，F'M；
∴△FEP的周长最小值为．
故答案为：．