Question

【题目】（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第103—104页的部分内容．

定理证明：请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．

定理应用：如图②，在中，，垂足为点（点在上），是边上的中线，垂直平分．求证：．

Answer 1

【答案】定理证明：见详解；定理应用：见详解．

【解析】

定理证明：延长CD到点E，使CD=DE，通过条件证明四边形EBCA为矩形，利用矩形的性质可得到结论；

定理应用：连接ED，通过定理得到DE=BE，即∠B=∠EDB，然后通过垂直平分，得到DE=DC，即∠DEC=∠BCE，利用三角形外角可证得结论．

定理证明：延长CD到点E，使CD=DE，连接AE、BE，

∵DC是AB边上的中线，

∴AD=BD，

又∵CD=DE，

∴四边形EBCA为平行四边形，

又∵∠ACB为直角，

∴四边形EBCA为矩形，

∴AB=CE，

∴ ，

∴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

定理应用：连接ED，

∵△ABC中，是边上的中线，

∴E为AB的中点，

又∵，

∴DE是直角三角形ABD斜边上的中线，

∴DE=BE，

∴∠B=∠EDB，

∵垂直平分，

∴DE=DC，

∴∠DEC=∠BCE，

∵∠EDB=∠DEC+∠BCE，

∴∠EDB=2∠BCE，

∴．