【题目】如图,已知抛物线经过
,
,对称轴为直线
.
(1)求该抛物线和直线的解析式;
(2)点是直线
上方抛物线上的动点,设
点的横坐标为
,试用含
的代数式表示
的面积,并求出
面积的最大值;
(3)设P点是直线上一动点,
为抛物线上的点,是否存在点
,使以点
、
、P、
为顶点的四边形为平行四边形,若存在,请直接写出符合条件的所有点
坐标,不存在说明理由.
【答案】(1);(2)
,当
时,
有最大值为4;(3)存在,
坐标
或
或
.
【解析】
(1)根据抛物线的对称性求得点B坐标,然后利用待定系数法分别求函数解析式即可;
(2)设点坐标
,过
作
轴,交直线
于
点,则
坐标为
,然后根据三角形面积公式求得
,从而用二次函数的性质求得其最值;
(3)利用平行四边形的性质,分四边形CPMB是平行四边形时,BN=PK=1;四边形CMPB是平行四边形时,CN=BO-1=3;四边形CPBM是平行四边形时,BN=OP=1三种情况确定M点横坐标,从而代入二次函数解析式求M点坐标.
解:(1)∵,对称轴为直线
.
∴
设二次函数解析式为
将C(0,2)代入解析式,得,解得
∴
∴抛物线解析式为:,
设直线BC的解析式为
将B(4,0)、C(0,2)代入解析式,得
,解得
∴直线解析式为
(2)过作
轴,交直线
于
点,
设点坐标
,则
坐标为
∴
∴
∵a=-1<0
∴当时,
有最大值为4.
(3)存在
设M点坐标为
如图,过点M作MN⊥x轴,过点P作PK⊥y轴,
①当四边形CPMB是平行四边形时,BN=PK=1
∴a=5
∴
∴此时M点坐标为(5,-3)
②当四边形CMPB是平行四边形时,CN=BO-1=3
∴a=-3
∴
∴此时M点坐标为(-3,-7)
③当四边形CPBM是平行四边形时,BN=OP=1
∴a=3
∴
∴此时M点坐标为(3,2)
综上所述,坐标为
或
或
.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC.过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点D,在AD上取一点E,使AE=AB,连接BE,交⊙O于点F.
请补全图形并解决下面的问题:
(1)求证:∠BAE=2∠EBD;
(2)如果AB=5,sin∠EBD=.求BD的长.
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【题目】如图,已知△ABC和点O.
(1)把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1,在网格中画出△A1B1C1;
(2)用直尺和圆规作△ABC的边AB,AC的垂直平分线,并标出两条垂直平分线的交点P(要求保留作图痕迹,不写作法)
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【题目】已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(4,5)三点.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,y随x的增大而减小?
(3)当x为何值时,y>0?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数
的图象交于
,
两点,与
轴交于点
.
(1)请直接写出不等式的解集;
(2)将轴下方的图象沿
轴翻折,点
落在点
处,连接
,
,求
的面积.
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【题目】如图,在△ABC中,点P、D分别在边BC、AC上,PA⊥AB,垂足为点A,DP⊥BC,垂足为点P,.
(1)求证:∠APD=∠C;
(2)如果AB=3,DC=2,求AP的长.
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【题目】(教材呈现)下图是华师版九年级上册数学教材第103—104页的部分内容.
定理证明:请根据教材图24.2.2的提示,结合图①完成直角三角形的性质:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明.
定理应用:如图②,在中,
,垂足为点
(点
在
上),
是
边上的中线,
垂直平分
.求证:
.
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