Question

【题目】如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，．

（1）求证：∠APD＝∠C；

（2）如果AB＝3，DC＝2，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）通过证明Rt△ABP∽Rt△PCD，可得∠B=∠C，∠APB=∠CDP，由外角性质可得结论；

（2）通过证明△APC∽△ADP，可得 ，即可求解．

证明：（1）∵PA⊥AB，DP⊥BC，

∴∠BAP＝∠DPC＝90°，

∵

∴，

∴Rt△ABP∽Rt△PCD，

∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，

∵∠DPB＝∠C+∠CDP＝∠APB+∠APD，

∴∠APD＝∠C；

（2）∵∠B＝∠C，

∴AB＝AC＝3，且CD＝2，

∴AD＝1，

∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠PAD，

∴△APC∽△ADP，

∴,

∴AP2＝1×3＝3

∴AP＝．