【题目】在平面直角坐标系中,等腰的底边在轴上,已知,抛物线(其中)经过三点,双曲线(其中)经过点轴,轴,垂足分别为且
(1)求出的值;当为直角三角形时,请求出的表达式;
(2)当为正三角形时,直线平分,求时的取值范围;
(3)抛物线(其中)有一时刻恰好经过点,且此时抛物线与双曲线(其中)有且只有一个公共点(其中),我们不妨把此时刻的记作,请直接写出抛物线(其中)与双曲线(其中)有一个公共点时的取值范围.(是已知数)
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)根据题意得,,故可得出k=;由变形为得A,B两点为抛物线与x轴的交点,故点C为直角顶点,求出点C坐标,代入,求出a的值即可;
(2)由为正三角形可求出点C坐标,从而得出抛物线y2的解析式,再根据直线平分求出b和c,得到直线y3解析式,联立y1与y3,y2与y3,求出交点坐标,从而解决问题;
(3)分、、、,四种情况分别求解即可.
(1)∵点轴,轴,
∴,
又双曲线经过点
∴;
∵
∴抛物线y1与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0)
∴点在抛物线y1上,
∴点C是直角顶点,AB=3-(-1)=4,
过点C作CD⊥AB于点D,则CD=AB=2,
∴OD=AD-AO=1,
∴C(1,2)
把C(1,2)代入,求得,
∴;
∵A(-1,0),B(3,0)
∴AB=4
过C点作CD⊥AB,垂足为D,
∵△ABC是正三角形,
∴AC=AB=4,AD=AB=2,OD=1
∴
∴C(1,)
把C(1,) 代入,解得,,
∴
∵直线平分,
∴∠OAE=30°,
∴AE=2OE
∵AO=1,
∴,解得,
∴c=
把(-1,0)代入得,b=
∴
联立与得
解得,,
所以当时,
联立与得,
解得,,
当时,
所以当时,
①当时,
抛物线与双曲线没有公共点;
②当时,抛物线与双曲线有唯一公共点
③当时,当抛物线右端点正好落在双曲线上时,
当时,抛物线与双曲线有两个公共点;
④当时,抛物线和双曲线始终有一个公共点;
所以当时,抛物线和双曲线始终有一个公共点
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【题目】“端午”节前,小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干,放入不透明的盒中,此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为;妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后,这时随机取出火腿粽子的概率为.
(1)请你用所学知识计算:爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只;
(2)若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只,问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少.(用列表法或树状图计算)
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【题目】已知一次函数y=﹣x+m和y=2x+n的图象都经过A(﹣4,0),且与y轴分别交于B、C两点,则△ABC的面积为( )
A.48B.36C.24D.18
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于,两点,与轴交于点.
(1)请直接写出不等式的解集;
(2)将轴下方的图象沿轴翻折,点落在点处,连接,,求的面积.
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【题目】如图,在△ABC中,点P、D分别在边BC、AC上,PA⊥AB,垂足为点A,DP⊥BC,垂足为点P,.
(1)求证:∠APD=∠C;
(2)如果AB=3,DC=2,求AP的长.
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【题目】用线段EG,FH将正方形ABCD按如图1所示的方式分割成4个全等的四边形,且AE=BF=CG=DH,tan∠HFC=2,再将这四个四边形按如图2所示的方式拼成一个大正方形IJKL,若设正方形ABCD的面积为S1,正方形IJKL的面积为S2.小四边形MNPQ的面积为8,则 的值为( )
A.B.C.D.
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【题目】在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.
(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
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