【题目】如图,已知△ABC是等边三角形,点D在AC边上一点,连接BD,以BD为边在AB的左侧作等边△DEB,连接AE,求证:AB平分∠EAC.
【答案】详见解析
【解析】
由等边三角形的性质得出AB=BC,BD=BE,∠BAC=∠BCA=∠ABC=∠DBE=60°,证出∠ABE=∠CBD,证明△ABE≌△CBD(SAS),得出∠BAE=∠BCD=60°,得出∠BAE=∠BAC,即可得出结论.
证明:∵△ABC,△DEB都是等边三角形,
∴AB=BC,BD=BE,∠BAC=∠BCA=∠ABC=∠DBE=60°,
∴∠ABC﹣∠ABD=∠DBE﹣∠ABD,
即∠ABE=∠CBD,
在△ABE和△CBD中,
∵AB=CB,
∠ABE=∠CBD,
BE=BD,,
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴∠BAE=∠BCD=60°,
∴∠BAE=∠BAC,
∴AB平分∠EAC.
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【题目】在平面直角坐标系中,等腰的底边在轴上,已知,抛物线(其中)经过三点,双曲线(其中)经过点轴,轴,垂足分别为且
(1)求出的值;当为直角三角形时,请求出的表达式;
(2)当为正三角形时,直线平分,求时的取值范围;
(3)抛物线(其中)有一时刻恰好经过点,且此时抛物线与双曲线(其中)有且只有一个公共点(其中),我们不妨把此时刻的记作,请直接写出抛物线(其中)与双曲线(其中)有一个公共点时的取值范围.(是已知数)
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【题目】在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里,上海全市学生积极响应号召开展“停课不停学”的线上学习活动,某中学为了了解全校1200名学生一周内平均每天进行在家体育锻炼时间的情况,随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的情况,结果如下表:
时间(分) | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
人数 | 16 | 24 | 14 | 10 | 8 | 6 | 8 | 4 | 6 | 4 |
完成下列各题:
(1)根据上述统计表中的信息,可知这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的众数是______分,中位数是_______分;
(2)小李根据上述统计表中的信息,制作了如下频数分布表和频数分布直方图(不完整),那么①频数分布表中m=______,n=______;②请补全频数分布直方图;
(3)请估计该学校平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有______人.
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【题目】抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点,顶点为C,点P为抛物线上,且位于x轴下方.
(1)如图1,若P(1,-3)、B(4,0),
① 求该抛物线的解析式;
② 若D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标;
(2) 如图2,已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点.当点P运动时,是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】函数(为常数).
(1)若点在函数图象上,求的值;
(2)当时,若直线(为常数)与函数恰好有三个交点时,设三个交点的横坐标从左至右依次为、、,求的取值范围;
(3)已知、.若函数图象与线段有两个交点时,求的取值范围;
(4)当时,函数值满足,直接写出的取值范围.
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【题目】已知抛物线,与轴交于两点,与轴交于点,且抛物线的对称轴为直线.
(1)抛物线的表达式;
(2)若抛物线与抛物线关于直线对称,抛物线与轴交于点两点(点在点左侧),要使,求所有满足条件的抛物线的表达式.
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【题目】问题原型:在图①的矩形MNPQ中,点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上,若∠1=∠2=∠3=∠4,则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.
操作与探究:在图②,图③的矩形ABCD中,AB=4,BC=8点E、F分别在BC、CD边上,试利用正方形网格分别作出两图中矩形ABCD的反射四边形EFGH,并求出每个反射四边形EFGH的周长.
发现与应用:由前面的操作可以发现一个矩形有不同的反射四边形,且这些反射四边形的周长都相等,若在图①矩形MNPQ中,MN=3,NP=4则其反射四边形EFGH的周长为 .
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【题目】某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划,以下是活动计划书的部分信息:
“读书节”活动计划书 | ||
书本类别 | A类 | B类 |
进价(单位:元) | 18 | 12 |
备注 | 1.用不超过16800元购进A,B两类图书共1000本; 2.A类图书不少于600本; …… |
(1)陈经理查看计划数时发现:A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍,若顾客用540元购买图书,能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本,请求出A,B两类图书的标价;
(2)经市场调查后,陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响,便调整了销售方案,A类图书每本标价降低a元(0<a<5)销售,B类图书价格不变,那么书店应如何进货才能获得最大利润?
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【题目】如图,有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形,分别标有1、2、3三个数字,小王和小李各转动一次转盘为一次游戏,当每次转盘停止后,指针所指扇形内的数为各自所得的数,一次游戏结束得到一组数(若指针指在分界线时重转).
(1)请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果;
(2)求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的概率.
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