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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD是⊙O的切线,ADCD于点DEAB延长线上一点,CE交⊙O于点F,连结OCAC

1)求证:AC平分∠DAO

2)若∠DAO=105°,∠E=30°

①求∠OCE的度数.

②若⊙O的半径为,求线段EF的长.

【答案】1)见解析;(2)①45°;② -1

【解析】

1)利用切线的性质可得到OCCD,由此可证得ADOC,利用平行线的性质及等边对等角去证明∠DAC=OAC,由此可证得结论;

2)①利用平行线的性质,可求出∠EOC的度数,再利用三角形内角和定理求出∠OCE的度数;②作OGCE于点G,利用垂径定理可得到FG=CG,再利用解直角三角形求出CG=OG的长,在RtOGE中,利用勾股定理求出GE的长,然后根据EF=GE-FG即可求出EF的长.

1)证明:∵直线CD与⊙O相切,

OCCD

又∵ADCD

ADOC

∴∠DAC=OCA

又∵OC=OA

∴∠OAC=OCA

∴∠DAC=OAC

AC平分∠DAO

2)解:①由(1)可知ADOC

∵∠DAO=105°

∴∠EOC=DAO=105°

∵∠E=30°

∴∠OCE=45°

②作OGCE于点G

由垂径定理可得FG=CG

OC= ,∠OCE=45°

CG=OG=1

FG=1

∵在RtOGE中,∠E=30°

GE=

EF=GE-FG=-1.

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